Feladat: 1314. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dávid Zoltán ,  Kartaly Béla ,  Sliz Miklós 
Füzet: 1971/március, 119 - 120. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinációk, Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/május: 1314. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A tippeken összesen 32+21=8 helyes találat volt. Az egyes versenyzőkre adott tippek száma rendre: 3, 3, 3, 4, 5, 0. Ezekből a számokból a 8 helyes találat csak 8=5+3+0 alakban állhat elő. Tehát 10 pontjuk azoknak a versenyzőknek lehetett, akikre 5, 3 és 0 tipp érkezett be 5, illetve 0 tippet csak E-re, illetve F-re adtak, nekik tehát 10 pontjuk van, ás 10 pontos lehet még A vagy B vagy C. Az első tipp kivételével mindegyik tipp tartalmazza E-t, ezek tehát legalább egy továbbjutót eltaláltak. Így csak az első tipp lehet 0 találatos, ezért sem A, sem B nem juthatott tovább, tehát még C-nek van 10 pontja.
Ha 10 pontja C-nek, E-nek és F-nek van, akkor az egyes tippek rendre 0, 2, 1, 2, 1, 2 továbbjutót találtak el, feladatunknak tehát ez a megoldása.

 

Sliz Miklós (Tatabánya, Ságvári E. Ált. Isk., 8. o. t.)
 

II. megoldás. Mindegyik tipp az első 5 versenyző közül jelöl ki 3-at. Ha mind a három 10 pontos is az első öt között volna, akkor mindegyik tippen volna legalább 1 találat, ami nem lehet. Eszerint a hatodik versenyzőnek, F-nek 10 pontja van.
A három 2-találatos tipp csak a további két 10 pontos versenyzőt találta el. E három tipp közül legalább kettő az utolsó öt tipp közül való, és ezek mindegyikén szerepel E. Ha E volna az, aki tévesen szerepel rajtuk, akkor ez a két 2-találatos tipp azonos volna. A tippek azonban mind különböznek, E-nek tehát 10 pontja van, és az utolsó öt tipp mindegyikén van legalább egy találat. Csak az első tipp lehet ezek szerint 0-találatos, és C-nek van még 10 pontja.
 

Kartaly Béla (Szolnok, Verseghy F. Gimn., I. o. t.)
 

Megjegyzés. Hat versenyző közül hármat 20-féleképpen választhatunk ki. Ha ezek mindegyikében megállapítjuk a közölt tippek találatainak a számát, kiválaszthatjuk közülük a megfelelőt. Nem érdemes azokat a hármasokat vizsgálni, amelyek a tippeken szerepelnek, hiszen ezek mellett volna 3-találatos tipp. A visszamaradó 14 hármas közül elég csak azt a hatot megvizsgálni, amelyek a közölt tippek komplementerei (ellentétesre kiegészítői, mint pl. A, B, C-nek komplementere D, E, F), hiszen tudjuk, hogy van 0-találatos tipp. Ezen az úton ‐ kicsit több, gépies munkával ‐ ugyancsak eljuthatunk a megoldáshoz.
 

Dávid Zoltán (Pécs, Széchenyi I. Gimn., I. o. t.)