Kezdőlap


Feladat:	1313. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Filep János
Füzet:	1971/február, 66 - 67. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/május: 1313. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Első ránézésre látható, hogy ha $a = ε c$ és $b = ε d$ , vagy ha $a = ε d$ és $a = ε c$ , ahol $ε = 1$ vagy $ε = - 1$ , akkor a bal oldalon álló két tag (a műveleti mínuszjel nélkül) azonos egymással, tehát egyenletünknek minden valós szám gyöke. Ebben az esetben a feladat állítása nem igaz, ezért fel kell termünk, hogy a bal oldal két tagja nem azonosan egyenlő.
Szorozzuk össze az ismeretlent tartalmazó tényezőket, és a második tagot vigyük át a jobb oldalra:

\begin{matrix} {(a + b)}^{2} {x^{2} + x (c^{2} + d^{2}) + c^{2} d^{2}} = {(c + d)}^{2} {x^{2} + x (a^{2} + b^{2}) + a^{2} b^{2}} . \end{matrix}

Vonjunk ki mindkét oldalból

x {(a + b)}^{2} {(c + d)}^{2}

-t, ezzel elérjük, hogy az ismeretlent tartalmazó tényezők is teljes négyzetté válnak:

\begin{matrix} {(a + b)}^{2} {x^{2} - 2 c d x + c^{2} d^{2}} = {(c + d)}^{2} {x^{2} - 2 a b x + a^{2} b^{2}}, \\ {(a + b)}^{2} {(x - c d)}^{2} = {(c + d)}^{2} {(x - a b)}^{2} . \end{matrix}

Két szám négyzete akkor egyenlő, ha e számok egyenlőek, vagy egymás

(- 1)

-szeresei. Ennek megfelelően két eset lehetséges:

\begin{matrix} (a + b) (x - c d) (c + d) (x - a b) a) \\ (a + b) (x - c d) = (- c - d) (x - a b), b) \end{matrix}

illetve a két eset egybeolvad, ha

a + b = c + d = 0

. Ekkor (1)-ben nem lép föl

x

, a kérdés tárgytalan.
Mindkét esetben legföljebb elsőfokú egyenletet kaptunk

x

-re, így

x

‐ ha egyáltalán létezik ‐ mindenesetre a négy alapművelettel számítható ki az

a

b

c

d

paraméterekből, amint feladatunk állítja.
II. Ami a gyök konkrét kifejezését illeti, a fenti két eset szerint rendre

\begin{matrix} x = \frac{(a + b) c d - (c + d) a b}{(a + b) - (c + d)}, hacsak a + b \neq c + d ill. a) \\ x = \frac{(a + b) c d + (c + d) a b}{(a + b) + (c + d)}, hacsak a + b \neq - (c + d) . b) \end{matrix}

A kizárt esetekben, amennyiben

\begin{matrix} | a + b | = | c + d | \neq 0, \end{matrix}

(2)

(1)-et ezek négyzetével egyszerűsítve

x^{2}

is kiesik, és az egyetlen gyök

\begin{matrix} x = \frac{a^{2} b^{2} - c^{2} d^{2}}{(c^{2} + d^{2}) - (a^{2} + b^{2})}, \end{matrix}

racionális kifejezés. Ennek nevezője így is írható:

\begin{matrix} {(c + d)}^{2} - 2 c d - {(a + b)}^{2} + 2 a b = 2 (a b - c d), \end{matrix}

ami csak az

a b = c d

esetben válik

0

-vá ‐ és akkor a számláló is

0

, ez a feltétel azonban (2)-vel összekapcsolva csak a már eredetileg kizárt esetekben teljesül, hiszen két szám értékét összegük és szorzatuk egyértelműen meghatározza. Az

a b \neq c d

esetben még egyszerűbben

\begin{matrix} x = \frac{a b + c d}{2} \end{matrix}

(az alakítás nem érinti már belátott racionális voltát).

Filep János (Budapest, I. István Gimn., II. o. t. )