Feladat: 1311. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bacsó G. ,  Bálint L. ,  Balog J. ,  Balogh Z. ,  Bara T. ,  Boruzs Mária ,  Breuer P. ,  Burda Magdolna ,  Császár Gy. ,  Fazekas I. ,  Ferró J. ,  Füredi Z. ,  Gál P. ,  Galgóczy Gy. ,  Gáspár Gy. ,  Greman L. ,  Kirchner I. ,  Kiss György ,  Koch R. ,  Komornik V. ,  Kovács István ,  Kovalcsik A. ,  Láng I. ,  Major I. ,  Móri Tamás ,  Nagy Sándor ,  Oláh Vera ,  Párkány Katalin ,  Pataki B. ,  Pataricza A. ,  Plánka J. ,  Prácser P. ,  Remsei F. ,  Salamon E. ,  Smohay F. ,  Springer F. ,  Stépán G. ,  Szabados Gy. ,  Szarvas G. ,  Szász Gy. ,  Szeredi J. ,  Takács István ,  Tarján P. ,  Tarsó B. ,  Turán Gy. ,  Vályi G. ,  Varga Gy. ,  Vincepap S. ,  Wittmann I. 
Füzet: 1971/április, 161 - 164. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Poliéderek átdarabolása, Poliéderek szimmetriái, Szabályos tetraéder, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/április: 1311. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az idézett gyakorlatban láttuk, hogy a mostani 6 feldaraboló sík rendre azonos a szabályos tetraéder 6 szimmetriasíkjával, továbbá hogy a keletkező 24 rész úgy osztható két, egyenként 12‐12 részt tartalmazó halmazba, hogy az ugyanazon halmazbeli részek egymásba átvihetők alkalmas elfordítással, a két halmazból választott 1‐1 rész pedig vagy a tetraéder valamelyik szimmetriasíkján való tükrözéssel, vagy ezentúl még alkalmas elmozdítással vihető át egymásba (ami ‐ tegyük hozzá ‐ meg is előzheti a tükrözést és követheti is azt).
Megmutatjuk, hogy feladatunk kérdésére igenlő a válasz. Legyenek a tetraéder csúcsai A, B, C, D, vetületük a szemben levő lapon rendre A', B', C', D', ez egyszersmind az illető szabályos háromszög-lap középpontja, 3 szimmetriatengelyének közös pontja; legyen továbbá az XY él felezőpontja ‐ ahol X és Y a tetraéder két tetszés szerinti, egymástól különböző csúcsát jelöli ‐ Fxy.

 
 
1. ábra
 

A 24 rész mindegyike tetraéder ‐ ezt is láttuk az idézett gyakorlatban ‐, egyik csúcsa mindegyiküknek S, az adott tetraéder súlypontja, egy-egy további csúcsuk rendre A, B, C és D közül, ill. A', B', C' és D' közül, ill. az Fxy felezőpontok közül való. Így minden egyes rész meghatározására elég utóbbi három típusú csúcsát megadni, más szóval az eredeti tetraéder valamelyik lapjába eső lapját, pl. az SAD'Fab tetraéderből az AD'Fab lapot. A kérdéses tükrözések ezeket a lapokat egymásba tiszik át, ezért elég a lapok átmeneteit tekintenünk.
 
 
2. ábra
 

Erre a célra az 1. ábrán bemutatott, felosztott tetraéder papírmodelljének a 2.a) ábrán azt a kiterítését mutatjuk be, amely a DA, DB, DC élek fölvágásával adódik, és ránézésben ‐ a szokásos hálózatokkal ellentétben ‐ a lapok belsejét látjuk. A részháromszögeket egyszerűség kedvéért az 1, 2, ..., 24 számokkal is megjelöltük, éspedig úgy, hogy a páratlan jelzőszámúak tartoznak az egyik mondott halmaz tetraédereihez (pozitív körüljárással az egymás utáni csúcsoknál levő szög 30, 60, 90) ‐ ezek a rajzsíkban való mozgatással átvihetők egymásba ‐ a páros jelzőszámúak pedig a másik halmazhoz tartoznak, a szögek növekvő rendjében körüljárva őket, körüljárásuk negatív. Azt mutatjuk meg, hogy az 1-es jelű AD'Fab háromszög a tetraédernek legföljebb 3 szimmetriasíkján való tükrözésével a 2, 3, ..., 24 jelű háromszögek bármelyikébe átvihető.
Az 1-es háromszög a DD' forgástengelyen átmenő DAFbc, DBFac, DCFab szimmetriasíkokon való tükrözéssel rendre a 6, 4, 2 jelű háromszögekbe megy át. Továbbmenve, az ABFcd síkon tükrözve a 12 jelzésűbe, mert így a C, D és a C', D' pontpárok fölcserélődnek, A és Fab viszont helyben maradnak; végül hasonló meggondolással a BCFad és CAFbd síkon való tükrözéssel a 14, ill. 22 jelű háromszögbe jutunk. A 6 szimmetriasíknak megfelelően 6 db páros jelzőszámú (negatív körüljárású) háromszögbe jutottunk el a 12 közül, éspedig az 1-est tartalmazó (az ABC) lapnak mind a három ilyen háromszögébe és az ABCD tetraéder további három lapjának egy-egy ilyen háromszögébe (2. b) ábra vonalkázott háromszögei).
Ebből tüstént adódik, hogy egy második tükrözéssel mind a 11 további páratlan jelzőszámú háromszögbe átvihetjük az 1-es háromszöget, és e második tükrözésben elég azokra a szimmetriasíkokra szorítkoznunk, amelyek merőlegesek ABCD-nek arra a lapjára, amelyre az első tükrözéssel jutottunk (2. c) ábrának a hosszabb befogóval párhuzamos vonalkázású háromszögei).
Végül egy harmadik tükrözéssel és ugyanezzel a korlátozással a DAB, DBC, DCA lapok hátra levő 2‐2 páros jelzőszámú háromszögébe juttathatjuk 1-et. Ezzel az állítást lényegében bebizonyítottuk.
Ha mármost a tetraédernek előre kiszemelt 24-edrésze az 1-es háromszög szöghöz tartozó SAD'Fab résztetraéder, akkor bármelyik másikból úgy juthatunk át ebbe, hogy a fentiek szerint kiválasztható legföljebb 3 tükrözést fordított sorrendben hajtjuk végre. Pl. a 16-os háromszögbe a fenti első tükrözéssel elért 14-esből pl. a 15-ösön át az ADFbc, majd ABFcd síkon való tükrözéssel juthatunk át, ezért a 16-osból az 1-esbe egymás után az ABFcd, ADFbc, BCFad síkokon való tükrözés visz át.
Megjegyzés. Azt is látjuk, hogy két tükrözés eredménye ugyanolyan körüljárású háromszög, vagyis a kezdeti és a végző résztest egymásba elmozdítással, elfordítással is átvihető, tehát két tükrözés eredménye a térben is forgatás, a tengely mindig átmegy S-en, a két szimmetriasík metszésvonala.
 

II. megoldás. A fentiekre támaszkodva konkrét példán mutatjuk be a célnak megfelelő tükörsíkok egymásutánjának egy lehetséges megválasztását. Ismét a fenti 16-os CA'FcdS résztetraédert visszük át az 1-es jelzőszámú AD'FabS-be, az első tükrözést úgy választva, hogy a 16-osnak az eredeti tetraéderrel közös C csúcsa jusson A-ba. A, C csere csak a BDFac síkon valósul meg, ekkor minden B és D betű a helyén marad, tehát a CA'Fcd háromszög az AC'Fad-be, a 7-esbe megy át. ‐ Amennyiben egy más példában a kiindulási és a célbeli résztestnek az eredeti tetraéderről származó csúcsa közös, a most mutatott lépés természetesen elmarad.
A kapott 7-es résztestet úgy tükrözzük tovább, hogy a tetraéder lapközéppont jellegű csúcsa a kívánt helyre jusson, vagyis C' a D'-be. Ezek akkor és csak akkor cserélnek, ha C és D cserél, más szóval ha A és B helyben marad vagyis az ABFcd síkon való tükrözéssel; ez pedig a 7-est AD'Fac-be, a 6-os résztestbe viszi át. ‐ Amennyiben a ,,vesszős'' pont már az első tükrözés után a kívánt helyen lett volna, akkor a 2. tükrözés természetesen elmarad. Egyébként ez a megegyezés már az 1. tükrözés előtt mutatkozott volna, mert a lapközéppontban álló vesszős betű különbözik a lap csúcsain álló 3 betű mindegyikétől, vagyis a lap mindegyik élén álló betűpártól, tehát fordítva, két tetraédercsúcsot egymással fölcserélő tükrözés az illető résztesthez tartozó, vesszőzött betűt nem változtatja meg. Ez a meggondolás azt is adja, hogy a 2. tükrözés sohasem mozdíthatja el az 1. tükrözéssel helyére állított tetraédercsúcsot.
Végül ‐ ha szükséges ‐ az élközéppontot visszük a kívánt helyre, esetünkben Fac-t Fab-be; ehhez B, C csere ‐ és A, D helybenmaradás ‐ szükséges, a megfelelő tükörsík ADFbc. (Megjegyezzük, hogy az élközéppont egyik indexe minden esetben már az 1. tükrözéssel helyessé válik.)
Kezdhettük volna eljárásunkat a ,,vesszős'' pont helyrevitelével is: A, D cserélnek, B, C maradnak: a BCFad síkon tükrözve az 5-ös jelzőszámú CD'Fca résztestbe jutunk. Sőt ekkor már Fca-nak a kívánt Fab-be való átvitelével is folytathatjuk eljárásunkat; megindulásul viszont nem lehetett volna Fcd-t Fab-be átvinni, mert ehhez minden betűnek cserélnie kellett volna, holott bármelyik tükrözés a benne felhasznált él végpontjait változatlanul hagyja.
Ezekből és az I. megoldásban látott tükrözéssorozatból látjuk, hogy több megfelelő sorozat is lehetséges 3-nál nem több tükrözésből.
 

Móri Tamás (Budapest, Berzsenyi D. Gimn. II. o. t.)

Oláh Vera (Budapest, Berzsenyi D. Gimn. I. o. t.)