|
Feladat: |
1311. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bacsó G. , Bálint L. , Balog J. , Balogh Z. , Bara T. , Boruzs Mária , Breuer P. , Burda Magdolna , Császár Gy. , Fazekas I. , Ferró J. , Füredi Z. , Gál P. , Galgóczy Gy. , Gáspár Gy. , Greman L. , Kirchner I. , Kiss György , Koch R. , Komornik V. , Kovács István , Kovalcsik A. , Láng I. , Major I. , Móri Tamás , Nagy Sándor , Oláh Vera , Párkány Katalin , Pataki B. , Pataricza A. , Plánka J. , Prácser P. , Remsei F. , Salamon E. , Smohay F. , Springer F. , Stépán G. , Szabados Gy. , Szarvas G. , Szász Gy. , Szeredi J. , Takács István , Tarján P. , Tarsó B. , Turán Gy. , Vályi G. , Varga Gy. , Vincepap S. , Wittmann I. |
Füzet: |
1971/április,
161 - 164. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Poliéderek átdarabolása, Poliéderek szimmetriái, Szabályos tetraéder, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1970/április: 1311. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az idézett gyakorlatban láttuk, hogy a mostani feldaraboló sík rendre azonos a szabályos tetraéder szimmetriasíkjával, továbbá hogy a keletkező rész úgy osztható két, egyenként 12‐12 részt tartalmazó halmazba, hogy az ugyanazon halmazbeli részek egymásba átvihetők alkalmas elfordítással, a két halmazból választott 1‐1 rész pedig vagy a tetraéder valamelyik szimmetriasíkján való tükrözéssel, vagy ezentúl még alkalmas elmozdítással vihető át egymásba (ami ‐ tegyük hozzá ‐ meg is előzheti a tükrözést és követheti is azt). Megmutatjuk, hogy feladatunk kérdésére igenlő a válasz. Legyenek a tetraéder csúcsai , , , , vetületük a szemben levő lapon rendre , , , , ez egyszersmind az illető szabályos háromszög-lap középpontja, szimmetriatengelyének közös pontja; legyen továbbá az él felezőpontja ‐ ahol és a tetraéder két tetszés szerinti, egymástól különböző csúcsát jelöli ‐ . 1. ábra A rész mindegyike tetraéder ‐ ezt is láttuk az idézett gyakorlatban ‐, egyik csúcsa mindegyiküknek , az adott tetraéder súlypontja, egy-egy további csúcsuk rendre , , és közül, ill. , , és közül, ill. az felezőpontok közül való. Így minden egyes rész meghatározására elég utóbbi három típusú csúcsát megadni, más szóval az eredeti tetraéder valamelyik lapjába eső lapját, pl. az tetraéderből az lapot. A kérdéses tükrözések ezeket a lapokat egymásba tiszik át, ezért elég a lapok átmeneteit tekintenünk. 2. ábra Erre a célra az . ábrán bemutatott, felosztott tetraéder papírmodelljének a ábrán azt a kiterítését mutatjuk be, amely a , , élek fölvágásával adódik, és ránézésben ‐ a szokásos hálózatokkal ellentétben ‐ a lapok belsejét látjuk. A részháromszögeket egyszerűség kedvéért az , , , számokkal is megjelöltük, éspedig úgy, hogy a páratlan jelzőszámúak tartoznak az egyik mondott halmaz tetraédereihez (pozitív körüljárással az egymás utáni csúcsoknál levő szög , , ) ‐ ezek a rajzsíkban való mozgatással átvihetők egymásba ‐ a páros jelzőszámúak pedig a másik halmazhoz tartoznak, a szögek növekvő rendjében körüljárva őket, körüljárásuk negatív. Azt mutatjuk meg, hogy az -es jelű háromszög a tetraédernek legföljebb szimmetriasíkján való tükrözésével a , , , jelű háromszögek bármelyikébe átvihető. Az -es háromszög a forgástengelyen átmenő , , szimmetriasíkokon való tükrözéssel rendre a , , jelű háromszögekbe megy át. Továbbmenve, az síkon tükrözve a jelzésűbe, mert így a , és a , pontpárok fölcserélődnek, és viszont helyben maradnak; végül hasonló meggondolással a és síkon való tükrözéssel a , ill. jelű háromszögbe jutunk. A szimmetriasíknak megfelelően db páros jelzőszámú (negatív körüljárású) háromszögbe jutottunk el a közül, éspedig az -est tartalmazó (az ) lapnak mind a három ilyen háromszögébe és az tetraéder további három lapjának egy-egy ilyen háromszögébe (. ábra vonalkázott háromszögei). Ebből tüstént adódik, hogy egy második tükrözéssel mind a további páratlan jelzőszámú háromszögbe átvihetjük az -es háromszöget, és e második tükrözésben elég azokra a szimmetriasíkokra szorítkoznunk, amelyek merőlegesek -nek arra a lapjára, amelyre az első tükrözéssel jutottunk (. ábrának a hosszabb befogóval párhuzamos vonalkázású háromszögei). Végül egy harmadik tükrözéssel és ugyanezzel a korlátozással a , , lapok hátra levő 2‐2 páros jelzőszámú háromszögébe juttathatjuk -et. Ezzel az állítást lényegében bebizonyítottuk. Ha mármost a tetraédernek előre kiszemelt -edrésze az -es háromszög szöghöz tartozó résztetraéder, akkor bármelyik másikból úgy juthatunk át ebbe, hogy a fentiek szerint kiválasztható legföljebb tükrözést fordított sorrendben hajtjuk végre. Pl. a -os háromszögbe a fenti első tükrözéssel elért -esből pl. a -ösön át az , majd síkon való tükrözéssel juthatunk át, ezért a -osból az -esbe egymás után az , , síkokon való tükrözés visz át. Megjegyzés. Azt is látjuk, hogy két tükrözés eredménye ugyanolyan körüljárású háromszög, vagyis a kezdeti és a végző résztest egymásba elmozdítással, elfordítással is átvihető, tehát két tükrözés eredménye a térben is forgatás, a tengely mindig átmegy -en, a két szimmetriasík metszésvonala. II. megoldás. A fentiekre támaszkodva konkrét példán mutatjuk be a célnak megfelelő tükörsíkok egymásutánjának egy lehetséges megválasztását. Ismét a fenti -os résztetraédert visszük át az -es jelzőszámú -be, az első tükrözést úgy választva, hogy a -osnak az eredeti tetraéderrel közös csúcsa jusson -ba. , csere csak a síkon valósul meg, ekkor minden és betű a helyén marad, tehát a háromszög az -be, a -esbe megy át. ‐ Amennyiben egy más példában a kiindulási és a célbeli résztestnek az eredeti tetraéderről származó csúcsa közös, a most mutatott lépés természetesen elmarad. A kapott -es résztestet úgy tükrözzük tovább, hogy a tetraéder lapközéppont jellegű csúcsa a kívánt helyre jusson, vagyis a -be. Ezek akkor és csak akkor cserélnek, ha és cserél, más szóval ha és helyben marad vagyis az síkon való tükrözéssel; ez pedig a -est -be, a -os résztestbe viszi át. ‐ Amennyiben a ,,vesszős'' pont már az első tükrözés után a kívánt helyen lett volna, akkor a . tükrözés természetesen elmarad. Egyébként ez a megegyezés már az . tükrözés előtt mutatkozott volna, mert a lapközéppontban álló vesszős betű különbözik a lap csúcsain álló betű mindegyikétől, vagyis a lap mindegyik élén álló betűpártól, tehát fordítva, két tetraédercsúcsot egymással fölcserélő tükrözés az illető résztesthez tartozó, vesszőzött betűt nem változtatja meg. Ez a meggondolás azt is adja, hogy a . tükrözés sohasem mozdíthatja el az . tükrözéssel helyére állított tetraédercsúcsot. Végül ‐ ha szükséges ‐ az élközéppontot visszük a kívánt helyre, esetünkben -t -be; ehhez , csere ‐ és , helybenmaradás ‐ szükséges, a megfelelő tükörsík . (Megjegyezzük, hogy az élközéppont egyik indexe minden esetben már az . tükrözéssel helyessé válik.) Kezdhettük volna eljárásunkat a ,,vesszős'' pont helyrevitelével is: , cserélnek, , maradnak: a síkon tükrözve az -ös jelzőszámú résztestbe jutunk. Sőt ekkor már -nak a kívánt -be való átvitelével is folytathatjuk eljárásunkat; megindulásul viszont nem lehetett volna -t -be átvinni, mert ehhez minden betűnek cserélnie kellett volna, holott bármelyik tükrözés a benne felhasznált él végpontjait változatlanul hagyja. Ezekből és az I. megoldásban látott tükrözéssorozatból látjuk, hogy több megfelelő sorozat is lehetséges -nál nem több tükrözésből.
Móri Tamás (Budapest, Berzsenyi D. Gimn. II. o. t.) |
Oláh Vera (Budapest, Berzsenyi D. Gimn. I. o. t.) |
|
|