Kezdőlap


Feladat:	1309. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1971/február, 62 - 64. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/április: 1309. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adatainkból megszerkeszthetjük (alkalmas kicsinyítésben) a kérdéses tereprész vázlatát: távolságaikból az $A$ , $B$ , $C$ pontok kölcsönös helyzetét, az $A B$ szakasz $15^{\circ}$ nyílású $i_{1}$ , $i'_{1}$ látószögkörív-párját (a szakasz két oldalán), ugyanígy $B C$ -nek $40^{\circ}$ nyílású $i_{2}$ , $i'_{2}$ ívpárját, a $C$ körüli $9 km$ sugarú $k_{1}$ és $B$ körüli $16 km$ sugarú $k_{2}$ kört, végül az $A B$ szakasz $m$ felező merőlegesét. (Lehetséges, hogy a helyes térképvázlatnak egy egyenesre való tükörképét kapjuk ‐ a terepnek mintegy alulnézetét ‐, ez azonban a felhasználást nem érinti.)

Ekkor Feri balesete a két ívpár

4

közös pontja közül annak a kettőnek,

D

-nek és

E

-nek valamelyikében történt, amelyre a

D B

, ill.

E B

egyenes szétválasztja

A

-t és

C

-t, ugyanis a további két metszéspontot (

G

és

H

)

B

-vel összekötő egyeneshez képest

A

és

C

ugyanazon az oldalon vannak. (Más szóval azok a közös pontok jönnek csak szóba, amelyek rajta vannak az

A C

szakasz

15^{\circ} + 40^{\circ} = 55^{\circ}

nyílású

i_{3}

i'_{3}

látókörív-párján;

G

-ből és

H

-ból viszont

A C

látószöge

40^{\circ} - 15^{\circ} = 25^{\circ}

.)
Másrészt Feriék lakásaként

k_{1}

és

k_{2}

mindkét közös pontja,

L_{1}

és

L_{2}

szóba jön, mert mindkettő azon az oldalán van

m

-nek, mint

B

. Az értesülés ezt a kérdést is kétértelműen hagyta. Ezek szerint a keresett távolság az

L_{1} D

L_{1} E

L_{2} D

és

L_{2} E

távolságok valamelyike.
A vázlatról lemért hosszaikat egybevetve valószínűbb, hogy a család az

m

-hez közelebb fekvő

L_{1}

-ben lakik, mert erre nézve az

L_{1} E = 13 km

távolság lényegesen kisebb, mint

L_{1} D = 20 km

‐ ez ugyanis indokolni látszik azt, hogy

E

-ből könnyebbnek vélik a fiúk Feri hazaszállítását ‐, viszont az

m

-től távolabbi

L_{2}

-re nézve a két távolság csak kisebb eltérést mutat, sőt

L_{2} E = 19 km

nagyobb, mint

L_{2} D = 17 km

. (A terep közlekedési lehetőségei természetesen módosíthatnák fenti rangsorolásunkat.)

Megjegyzés. Feri kiegészítő adatát ‐ hogy ti.

B

-t

A

és

C

között látta ‐ úgy értékelhetjük, tudatában volt, hogy a hátrametszés feladata a két látószög ismeretében nem mindig oldható meg egyértelműen. (A kérdés iránti érdeklődését mutatja, hogy méréseit a baleset előtt végezte.) Teljes tisztánlátás birtokában viszont a fönnmaradt kétértelműséget is megszüntethette volna, azt is közölve, hogy látósugarával

A

-t,

B

-t és

C

-t egymás után végigsöpörve jobbra vagy balra fordult-e. Ezt a közlést azonban csak akkor használhatnánk fel Feri helyének

D

és

E

közül való egyértelmű kiválasztására, ha azt is tudnánk, hogy a

3

hegycsúcsot ‐ a térképen ‐ pl.

A

B

C

sorrendben körüljárva pozitív vagy negatív forgást végzünk-e. ‐ A feladattal ezekre kívánt rámutatni a szerkesztőség.
Természetesen elmaradnak ezek a kételyek, ha a terepen állunk és a térkép a kezünkben van, vagy ha vázlat egészíti ki a feladatot.