Feladat: 1307. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Altorjay I. ,  Angyal J. ,  Arvay L. ,  Bacsó G. ,  Balogh Z. ,  Bodnár I. ,  Breuer P. ,  Csapó Z. ,  Császi J. ,  Csernátony G. ,  Fazekas I. ,  Ferró J. ,  Füredi Z. ,  Gálfi V. ,  Garay B. ,  Gáspár Gy. ,  Golda J. ,  Grácin Edit ,  Győri E. ,  Hadik Gy. ,  Horányi a. ,  Huszár Magdolna ,  Katona E. ,  Komornik V. ,  Koppány I. ,  Kovács István ,  Lang I. ,  Major I. ,  Móri T. ,  Oláh Vera ,  Orosz Éva ,  Pataki B. ,  Pethő Mária ,  Reichenbach P. ,  Sashegyi L. ,  Stépán G. ,  Sturmann Krisztina ,  Szalay Adél ,  Szendrei Ágnes ,  Szendrei Mária ,  Szeredi J. ,  Szurmai E. ,  Vajnági A. ,  Vályi G. ,  Vincepap S. 
Füzet: 1971/március, 117 - 119. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Irracionális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/április: 1307. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bal oldal első tagját a hozzá hasonló jobb oldali tag mellé visszük, négyzetre emeljük az egyenletet és rendezünk:

(2a+b)2-4x2=-b.
Eszerint megoldás létezésének egy szükséges feltételéül máris kapjuk:
b≦0.(2)

Újabb négyzetreemeléssel x2=a2+ab, és így megoldásként csak a következő két érték jön szóba:
x1=a(a+b),x2=-a(a+b),(3)
amelyek csakis akkor valósak, ha a és a+b egyenlő előjelűek, vagy ha fellép köztük a 0 érték is. Ezt (2)-vel egybefoglalva, x1,2 valós, ha
a≧a+b≧0,azaz-a≦b≦0;(4)
vagy ha
a+b≦a≦0,azaza≦0,b≦0.(5)

Természetesen csak olyan megoldást fogadhatunk el, amely mellett az (1)-beli három négyzetgyökvonás külön-külön valós eredményre vezet. Tüstént látjuk, hogy ez (5) esetén nem teljesül, mert akár x1-et, akár x2-t helyettesítve, az első és a harmadik gyökjel közül legalább az egyik alatt negatív szám áll, kivéve ha 2a+b=0, és a(a+b)=0, ami mindenképpen az a=b=0 esetre vezet. Ezt viszont a (4) feltétel is tartalmazza, így (5) esetét kizárhatjuk.
(4) esetén az első és a harmadik gyökjel alatt nemnegatív szám áll, hiszen 2-vel osztva őket, az a és a+b nemnegatív számok számtani és mértani középértékéből képzett összeg és különbség áll előttünk. Ugyanígy a második gyökjel alatti szám sem negatív, ugyanis
10a+9b6=a+9(a+b)6=12{a3+3(a+b)}≦a3⋅3(a+b)=|x1,2|.

Már csak azt kell vizsgálnunk, (3) melyike ‐ és (4)-en túlmenve mely további feltétel mellett ‐ elégíti ki (1)-et. x1-et véve, az első és harmadik négyzetgyökjel így alakul:
2a+b+2x1=a+2a(a+b)+(a+b)=a+a+b,2a+b-2x1=a-a+b,


tehát a jobb oldalból a bal oldal első tagját kivonva mindenesetre
a-3a+b
adódik; a második négyzetgyök viszont
10a+9b-6x1=a-6a(a+b)+9(a+b)=±(a-3a+b)
aszerint, hogy
a≧9(a+b),azazb≦-89a≦0,illetőleg(4a)a<9(a+b),azaz-89a<b≦0.(4b)
Eszerint (4a) mellett teljesül (1), viszont (4b) mellett nem teljesül.
x2 esetében az első és harmadik négyzetgyök szerepe fölcserélődik, csak a második négyzetgyökjelet kell újra számítani, ami hasonlóan
a+3a+b,
és vele (1) teljesül.
Mindezek szerint a megoldás
-a<b≦-89a<0eseténx=±a(a+b),-89a<b≦0eseténx=-a(a+b),
a≧0, a+b=0 esetén pedig x=0, vagyis a megoldások száma a két feltétel szerint 2, 1, illetőleg 0.
 
Számpéldák:
a=16, b=-7 esetén x1=12 nem megoldás: 7+5≠2,
x2=-12megoldás:1+13=14;
a=16, b=-15(<-128/9) esetén
x1=4 is, x2=-4 is megoldás: 5+1=6, 3+7=10;
a=1, b=3 esetén sem x1=2, sem x2=-2 nem gyök: 3+5≠2, 1+7≠6.
 

Szendrei Mária (Szeged, SÁgvári E. Gyak. Gimn., III. o. t. )