Feladat: 1306. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1970/november, 142 - 143. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Derékszögű háromszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/április: 1306. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a három háromszög közös befogóját a, és legyen a középső háromszög másik befogója b, átfogója c. Mindháromra felírva Pitagorasz tételét:

a2+(b-100)2=(c-30)2,(1)a2+b2=c2,(2)a2+(b+100)2=(c+40)2,(3)
majd (2)-t (1)-ből és (3)-ból kivonva, elsőfokú rendszert kapunk b-re és c-re:
-100(2b-100)=-30(2c-30),(4)100(2b+100)=-40(2c+40).(5)
E két egyenletet összeadva:
2⋅1002=20c+302+402,c=10⋅100-45-80=875.
Ezt (4)-be, majd b és c értékét (2)-be helyettesítve kapjuk b és a értékét: b=308, a=819. A középső háromszög oldalai tehát: 819, 308, 875, a kisebb háromszög oldalai: 819, 208, 845, a nagyobbé: 819, 408, 915.
 

 

Megjegyzések. 1. Mivel mind a négy növekedési szám (100, 100, 30, 40) racionális szám, azért b-re és c-re racionális megoldást kellett kapnunk, a-ra azonban ez nem volt biztosra várható. A várhatóhoz képest mindhárom ismeretlenre tetszetősebb, egész érték adódott.
2. Általában, ha a másik befogók különbsége p és q, és a kisebb háromszög átfogója d, a nagyobbé e, akkor az (1)‐(3) egyenletek megfelelői:
a2+(b-p)2=d2,(1')a2+b2=c2,(2')a2+(b+q)2=e2,(3')


(2')-t ismét kivonva (1')-ből és (3')-ből, kapjuk:
-2bp+p2=d2-c2,(4')2bq+q2=e2-c2.(5')
Ha p≠q, akkor e két egyenlet összege helyett célszerűbb az első q-szorosához a második p-szeresét hozzáadni:
pq(p+q)=d2q+e2p-c2(p+q).
Ez Stewart tétele, mely tehát egy egyenes egymáshoz csatlakozó p, q szakaszainak hossza, és a végpontoknak a külső P ponttól mért c, d, e távolságai közötti összefüggést határozza meg.
Fenti levezetésünk csak arra az esetre vonatkozik, ha P vetülete nem a szakaszokra esik, azonban hasonlóan bizonyítható akkor is, ha a vetület valamelyik szakaszon van.