A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelölje a három háromszög közös befogóját , és legyen a középső háromszög másik befogója , átfogója . Mindháromra felírva Pitagorasz tételét:
majd (2)-t (1)-ből és (3)-ból kivonva, elsőfokú rendszert kapunk -re és -re:
E két egyenletet összeadva:
Ezt (4)-be, majd és értékét (2)-be helyettesítve kapjuk és értékét: , . A középső háromszög oldalai tehát: , , , a kisebb háromszög oldalai: , , , a nagyobbé: , , .
Megjegyzések. 1. Mivel mind a négy növekedési szám (, , , ) racionális szám, azért -re és -re racionális megoldást kellett kapnunk, -ra azonban ez nem volt biztosra várható. A várhatóhoz képest mindhárom ismeretlenre tetszetősebb, egész érték adódott. 2. Általában, ha a másik befogók különbsége és , és a kisebb háromszög átfogója , a nagyobbé , akkor az (1)‐(3) egyenletek megfelelői:
(2')-t ismét kivonva (1')-ből és (3')-ből, kapjuk:
Ha , akkor e két egyenlet összege helyett célszerűbb az első -szorosához a második -szeresét hozzáadni: Ez Stewart tétele, mely tehát egy egyenes egymáshoz csatlakozó , szakaszainak hossza, és a végpontoknak a külső ponttól mért , , távolságai közötti összefüggést határozza meg. Fenti levezetésünk csak arra az esetre vonatkozik, ha vetülete nem a szakaszokra esik, azonban hasonlóan bizonyítható akkor is, ha a vetület valamelyik szakaszon van. |