Kezdőlap


Feladat:	1303. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bacsó Gábor , Balog János , Balogh Zoltán , Bodnár István , Breuer Péter , Domokos Mária , Fodor Éva , Hadik György , István Mária , Kelemen Imre , Komornik Vilmos , Major Imre , Molnár György , Nagy Zoltán , Pászti Ferenc , Prácser Péter , Somorjai Imre , Szeredi János , Tatár Ágota , Vermes András , Vincepap Sándor
Füzet:	1974/május, 205 - 207. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Eltolás, Transzformációk szorzata, Húrnégyszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/március: 1303. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Föltehetjük, hogy az $A B C$ háromszög pozitív körüljárású ‐ hiszen az ellentétes esetben vehetnénk a kör és a pontok tengelyes tükörképét a sík valamely egyenesére (pl. a kör $A$ -ból induló átmérőjére), az állítást igazolnánk a tükörképre, amely így már pozitív körüljárású, akkor pedig a visszatükrözéssel visszaadódó eredeti alakzatra is érvényes az állítás.
Ismeretes a tankönyvből, hogy a sík bármely alakzatát előbb az $A B$ , majd a $B C$ egyenesre mint tengelyre tükrözve, eredményül ugyanazt a helyzetét kapjuk az alakzatnak, mint ha azt elforgatjuk a $B$ pont körül negatív irányban $2 β$ szöggel, ahol $β$ az $A B C$ háromszög $B$ -nél levő ‐ azaz $180^{\circ}$ -nál kisebb - szöge, amely a $B A$ -t $B C$ -be átvivő forgás szöge.
Hasonlóan a $C D$ és $D A$ egyeneseken ‐ ebben a sorrendben ‐ végrehajtott tükrözés eredménye egyezik annak az elfordításnak az eredményével, melynek centruma $D$ , szöge $2 δ$ ‐ ahol $δ$ a $C D A$ háromszög $D$ -nél levő szöge, és iránya megegyezik a $D C$ szakaszt $180^{\circ}$ -nál kisebb szöggel a $D A$ -ra vivő elfordulás irányával. Ezek szerint e két elfordítás sorrend szerinti eredményéről kell kimutatnunk, hogy elérhető az eredeti alakzat egyetlen eltolásával.
A bizonyítást két esetben végezzük a $D$ pontnak az $A C$ egyeneshez képest elfoglalt helyzete szerint. Ha $D$ a $B$ -t nem tartalmazó partján van az $A C$ egyenesnek (1. ábra) ‐ más szóval ha $A B C D$ konvex négyszög ‐, akkor a húrnégyszög tulajdonságai alapján $δ = 180^{\circ} - β$ , a $C D A$ háromszög is pozitív körüljárású, így a síkot előbb $2 β$ , majd $2 δ$ szöggel fordítjuk el negatív irányban, együttvéve $2 (β + δ) = 360^{\circ}$ szöggel, tehát minden irány visszajut önmagába. (Az irányok szempontjából nem lényeges, hogy a két elfordítás centruma nem ugyanaz.)

1. ábra

Ha viszont

D

ugyanazon a partján van az

A C

egyenesnek, mint

B

‐ azaz

A B C D

hurkolt húrnégyszög, akkor abszolút értékben

δ = β

, viszont a

D C

-t

D A

-ba vivő (

180^{\circ}

-nál kisebb) elfordítás ellentétes irányú a

B A

-t

B C

-be vivő elfordítással (hiszen egyenlő irányú a

B C

-t

B A

-ba vivő elfordítással). Így a

B

és

D

körüli elfordítás egyező nagyságú, de ellentétes irányú, tehát egymás utáni végrehajtásukkal ismét azt kapjuk, hogy a sík minden iránya visszajut önmagába. Így a két elfordítás eredménye valóban csak eltolás lehet, az állítást bebizonyítottuk.

Vermes András (Eger, Gárdonyi G. Gimn.)

Megjegyzés. Könnyű megadni a kérdéses eltolás nagyságát és irányát is. Az alkalmazott tétel megfordításaként az is ismeretes a tankönyvből, hogy a sík egy

E

centrumú,

ε

szögű elfordítása felbontható két tükrözésre, melyek tengelyei átmennek

E

-n és az első tengelyt a másodikba

ε / 2

nagyságú elfordítás viszi át ugyanabban az irányban, mint a vizsgált elfordítás, továbbá hogy ebben a felbontásban a tengelyek egyikének iránya szabadon választható.
Jelöljük a

B

körüli,

2 β

szögű elfordítás, valamint a

D

körüli,

2 δ

szögű elfordítás ilyen felbontásában a tengelyeket a tükrözés sorrendjében

t_{1}

-gyel és

t_{2}

-vel, ill.

t_{3}

-mal és

t_{4}

-gyel, és válasszuk

t_{2}

és

t_{3}

szerepére egyaránt a

B D

egyenest. Ez kétféleképpen is egyszerűsíti a gondolt eljárást. Egyrészt a

t_{2}

-n és

t_{3}

-on való tükrözés ,,megsemmisítik egymást'', vagyis a

t_{3}

-on való tükrözés visszaállítja a

t_{1}

-en való tükrözés utáni helyzetet. Másrészt

t_{4}

párhuzamos lesz

t_{1}

-gyel, hiszen mindkettőt

B D

-ből kapjuk

B

körüli

(- β)

szögű, illetve

D

körüli

(+ δ)

szögű elfordítással, e szögek kapcsolatát pedig már a fentiekből ismerjük.
Mármost két párhuzamos tengelyen való egymás utáni tükrözés eredménye eltolás, melynek vektora merőleges a tengelyekre, az első tengelytől a második felé irányul és abszolút értéke

2

-szer akkora, mint a tengelyek távolsága: ^{$^{*}$}

4 r