Kezdőlap


Feladat:	1302. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1971/január, 18 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, "Pi" közelítő kiszámítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/március: 1302. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Válasszuk a kör sugarát egységnek, és legyen a kör középpontja $O$ , az átmérő végpontjai $A$ és $B$ , az egyik félkör felezőpontja $C$ , a másik félkör harmadoló pontjai $D$ és $E$ , végül legyen a $C D$ , $C E$ egyenesek $A B$ -n levő pontja $F$ és $G$ .

O D E

háromszög szabályos, és oldalai egységnyiek, ugyancsak egységnyi a

C F G

háromszög

C O

magassága. A

C D E

és

C F G

háromszögek hasonlósága miatt a

D E

F G

oldalak aránya megegyezik e háromszögek magasságainak az arányával:

\begin{matrix} D E : F G = (1 + \frac{\sqrt[]{3}}{2}) : 1, \\ F G = \frac{D E}{1 + \frac{\sqrt[]{3}}{2}} = \frac{2}{2 + \sqrt[]{3}} = 2 (2 - \sqrt[]{3}) . \end{matrix}

C O F

derékszögű háromszögben Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} C F = \sqrt[]{F O^{2} + O C^{2}} = \sqrt[]{{(2 - \sqrt[]{3})}^{2} + 1} = \sqrt[]{8 - 4 \sqrt[]{3}} = \sqrt[]{6 - 2 \sqrt[]{6} \sqrt[]{2} + 2} = \sqrt[]{6} - \sqrt[]{2} . \end{matrix}

C G F

háromszög alapjának és szárának összege ezek szerint

\begin{matrix} q = C F + F G = \sqrt[]{6} - \sqrt[]{2} + 4 - 2 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Feladatunk szerint ez a kör kerületének a negyedrészére,

π / 2

-re ad közelítő értéket. Táblázatunk alapján

\begin{matrix} q = 2, 449 - 1, 414 + 4 - 3, 464 = 1, 571 \\ π / 2 \approx 1, 571, \end{matrix}

tehát

q

és

π / 2

értéke három tizedesre egyenlőnek látszik. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a hiba kisebb a kerekítés hibájánál,

5 \cdot 10^{- 4}

-nél, hiszen a

(\frac{π}{2} - q)

különbség fenti meghatározásában négy érték szerepel három tizedesre kerekítve. Legrosszabb esetben a kerekítések hibái összeadódnak, így csak annyit mondhatunk, hogy

\begin{matrix} | q - \frac{π}{2} | < 4 \cdot 5 \cdot 10^{- 4} = 0, 002. \end{matrix}

Pontosabban számolva

q

és

π / 2

értéke

\begin{matrix} q = 1, 571 17, \frac{π}{2} = 1, 570 80. \end{matrix}

tehát a hiba

\begin{matrix} 0 < q - \frac{π}{2} < 0, 000 4, \end{matrix}

vagyis

q

nagyobb a negyedkörív hosszánál, de a többlet kisebb annak

0, 3

ezredrészénél.