Kezdőlap


Feladat:	1300. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1971/január, 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/március: 1300. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a 16 jegyei közé $2 k + 1$ db 7-est írunk, a kapott szám ( $2 k + 3$ ) jegyű lesz, az első jegy helyi értéke pedig $10^{2 k + 2}$ . A közbeékelt szám ( $2 k + 1$ ) jegyű, és minden jegye 7-es. Ha minden jegye 9-es volna, 1-et hozzáadva egy ( $2 k + 2$ ) jegyű számot kapnánk, amelyiknek első jegye 1-es, a többi 0. A ( $2 k + 1$ ) db 9-essel felírt szám tehát 1-gyel kevesebb $10^{2 k + 1}$ -nél, és a közbeékelt szám ennek $7 / 9$ -ed része. Emiatt

\begin{matrix} A = 10^{2 k + 2} + 10 \cdot \frac{7}{9} (10^{2 k + 1} - 1) + 6 = \frac{1}{9} (16 \cdot 10^{2 k + 2} - 16) . \end{matrix}

Hasonlóan állíthatjuk elő a

B

számot is:

\begin{matrix} B = 3 \cdot 10^{k + 1} + 10 \cdot \frac{5}{9} (10^{k} - 1) + 2 = \frac{1}{9} (32 \cdot 10^{k + 1} - 32) . \end{matrix}

Ezek alapján

\begin{matrix} A - B = \frac{1}{9} (16 \cdot 10^{2 k + 2} - 32 \cdot 10^{k + 1} + 16) = {[\frac{4 (10^{k + 1} - 1)}{3}]}^{2} . \end{matrix}

A szögletes zárójelben álló szám egész, hiszen

10^{k + 1} - 1

a (

k + 1

) db 9-essel felírt szám emiatt

\frac{1}{3} (10^{k + 1} - 1)

a (

k + 1

) db 3-assal felírt szám, és a szögletes zárójelben ennek 4-szerese áll. Állításunkat ezzel bebizonyítottuk.

Megjegyzés. Közvetlenül is látható, hogy

A

a (

2 k + 2

) db 1-essel felírt szám 16-szorosa,

B

pedig a (

k + 1

) db 2-essel felírt szám 16-szorosa (

1 + 6 = 7

és

3 + 2 = 5

). Emiatt

A - B

tizenhatod része egyenlő a

k + 1

db 1-essel és a

k + 1

db 9-essel felírt számok szorzatával, és

A - B

négyzetgyöke a

k + 1

db 3-assal felírt szám 4-szerese.