Kezdőlap


Feladat:	1298. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kirchner Imre
Füzet:	1971/március, 114 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Osztópontok koordinátái, Poliéderek súlypontja, Tetraéderek, Vektorok lineáris kombinációi, Helyvektorok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/február: 1298. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a tér tetszőleges $O$ pontjából az $A B C D$ tetraéder csúcsaiba mutató helyvektor rendre $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , így az $A B C$ lap $S_{D}$ súlypontjába mutató helyvektor

\begin{matrix} S_{D} = \frac{a + b + c}{3}, \end{matrix}

a további

A B D

A C D

B C D

lapok súlypontjába mutató helyvektor rendre

\begin{matrix} S_{C} = \frac{a + b + d}{3}, S_{B} = \frac{a + c + d}{3}, S_{A} = \frac{b + c + d}{3}, \end{matrix}

a tetraéder

S

súlypontjának helyvektora pedig

\begin{matrix} S = \frac{a + b + c + d}{4} = \frac{S_{D} + S_{C} + S_{B} + S_{A}}{4} . \end{matrix}

Legyen másrészt az

A B C

A B D

A C D

B C D

lap egy-egy tetszés szerinti

D_{1}

C_{1}

B_{1}

, ill.

A_{1}

pontjába az illető lap súlypontjából húzott vektor rendre

x

y

z

u

, így a fölvett pontok helyvektora rendre

\begin{matrix} S_{D} + x, S_{C} + y, S_{B} + z, S_{A} + u, \end{matrix}

a megfelelő lapsúlypontra vett

D'_{1}

C'_{1}

B'_{1}

, ill.

A'_{1}

tükörképük helyvektora pedig rendre

\begin{matrix} S_{D} - x, S_{C} - y, S_{B} - z, S_{A} - u \end{matrix}

lesz. Továbbá a fölvett, illetőleg a tükrözéssel kapott pontnégyes súlypontjának helyvektora, mindjárt alkalmas rendezéssel

\begin{matrix} S_{1} = \frac{S_{D} + S_{C} + S_{B} + S_{A}}{4} + \frac{x + y + z + u}{4} = s + v, \end{matrix}

ahol

v

a bal oldal második tagját rövidíti, illetőleg

\begin{matrix} {s'}_{1} = s - v . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} \frac{s_{1} + {s'}_{1}}{2} = s, \end{matrix}

ami az állítást bizonyítja.
A bizonyításban nem használtuk ki, hogy a fölvett pontok rendre benne vannak a mondott lap síkjában, így az állítás ezen korlátozás nélkül érvényes.

Kirchner Imre (Budapest, Steinmetz M. Gimn., III. o. t. )

II. megoldás. Általában az

r_{1}, r_{2}, ..., r_{n}

helyvektorú

P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}

pontok

α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}

súlyrendszerre vonatkozó súlypontjának a tér

\begin{matrix} r = \frac{α_{1} \cdot r_{1} + α_{2} \cdot r_{2} + ... + α_{n} \cdot r_{n}}{α_{1} + α_{2} + ... + α_{n}} \end{matrix}

helyvektorú

P

pontját nevezzük. (Az

α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}

súlyok tetszőleges valós számok lehetnek, melyek összege

0

-tól különböző.) E definícióból következik, hogy a

P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}

pontoknak a

c α_{1}, c α_{2}, ..., c α_{n}

súlyrendszerre vonatkozó súlypontja ugyanaz, mint e pontok

α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}

súlyrendszerre vonatkozó súlypontja, ha

c \neq 0

. Igaz továbbá, hogy ha a

P_{1}, P_{2}, ..., P_{k}

pontokat

(k ≦ n)

α_{1}, α_{2}, ..., α_{k}

súlyrendszerre vonatkozó

P'

súlypontjukkal helyettesítjük, melyhez az

(α_{1} + α_{2} + ... + α_{k})

súlyt rendeljük, a súlypont változatlan marad, hiszen a helyvektorok

(α_{1} + ... + α_{n})

-szerese egyenlő:

\begin{matrix} (α_{1} + α_{2} + ... + α_{k}) \frac{r_{1} + r_{2} + ... + r_{k}}{α_{1} + α_{2} + ... + α_{k}} + α_{k + 1} r_{k + 1} + ... + α_{n} r_{n} = \\ = α_{1} r_{1} + ... + α_{n} r_{n} \end{matrix}

(feltéve, hogy

α_{1} + α_{2} + ... + α_{k} \neq 0)

.
Ezek alapján feladatunk megoldása a következő. A

A B C D

tetraéder szokásos értelemben vett súlypontja azonos az

(1,1,1,1)

súlyrendszerre vett súlyponttal vagy a

(3,3,3,3)

súlyrendszerre vett súlyponttal. Utóbbi megkapható úgy is, hogy laponként képezzük a lapok csúcspontjainak

(1,1,1)

súlyrendszerre vonatkozó súlypontját, majd a kapott pontoknak (a lapok közönséges súlypontjának) vesszük a

(3,3,3,3)

súlyrendszerre vonatkozó súlypontját. Az

A B C D

és a

S_{A} S_{B} S_{C} S_{D}

tetraéderek

S

súlypontja tehát azonos.
Az

A_{1}

B_{1}

C_{1}

D_{1}

A'_{1}

B'_{1}

C'_{1}

D'_{1}

pontrendszer

(1,1,1,1,1,1,1,1)

súlyrendszer melletti súlypontját is kétféleképpen határozzuk meg. Először vesszük az

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

, illetve

A'_{1} B'_{1} C'_{1} D'_{1}

pontnégyes

(1,1,1,1)

súlyrendszer melletti súlypontját, kapjuk az

S_{1}

S'_{1}

pontokat, majd vesszük az

S_{1}

S'_{1}

pontok

(4,4)

súlyrendszer melletti súlypontját, ez az

S_{1} S'_{1}

szakasz felezőpontja. De képezhetjük először az

(A_{1}, A'_{1})

(B_{1}, B'_{1})

(C_{1}, C'_{1})

és

(D_{1}, D'_{1})

pontpárok

(1,1)

súlyrendszer melletti súlypontját, kapjuk az

S_{A}

S_{B}

S_{C}

S_{D}

pontokat, majd ezeknek vesszük a

(2,2,2,2)

súlyrendszerre vonatkozó súlypontját, ami az

S_{A} S_{B} S_{C} S_{D}

tetraéder

S

súlypontjával azonos.

S

tehát az

S_{1} S'_{1}

szakasz felezőpontja, amint azt bizonyítani akartuk.