Kezdőlap


Feladat:	1297. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fehérvári József , Hebling Vilmos
Füzet:	1970/november, 139 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/február: 1297. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $R S$ szakaszt $P Q$ -nak $Q$ -n túli meghosszabbítására tolhatjuk a $Q T$ helyzetbe, a szögvonalzóval $S$ -en át párhuzamost húzva az $R Q$ egyenessel, ekkor a keresett $D$ derékszögű háromszög átfogója $P T$ . (Amennyiben $P Q$ és $R S$ távol vannak egymástól eszközeink méreteihez képest, az áttolást több lépésben végezzük el.)

Megszerkeszthetjük

D

-nek egyik hegyesszögét is egy a

D

-hez hasonló

D^{*}

háromszögben. Ugyanis

D

befogóinak aránya a szögfelezőre vonatkozó ismert tétel szerint egyenlő

P Q

és

R S = Q T

arányával, tehát

D^{*}

szerepére megfelel az adott szakaszokból mint befogókból szerkesztett háromszög. Ilyet kapunk

P

-t

Q

körül

90^{\circ}

-kal elfordítva a

P^{*}

helyzetbe, ami eszközeinkkel ezt jelenti: a

P

-n átmenő,

P T

-vel

45^{\circ}

szöget bezáró egyenest metsszük a

Q

-n át

P T

-re állított merőlegessel, ezek metszéspontja

P^{*}

. Ekkor a

P^{*} T P ∢

az a szög, amely

D

-ben a

P Q

-val arányos befogóval lesz szemben.
Ezek szerint

D

hátra levő csúcsa a

P

-ből

P^{*} T

-re bocsátott merőleges

U

talppontja.
Ekkor

U

-t

Q

-val összekötve

\begin{matrix} \frac{P Q}{R S} = \frac{P Q}{Q T} = \frac{P^{*} Q}{Q T} = \frac{P U}{U T}, \end{matrix}

tehát

U O

valóban felezi a

P U T ∢ = 90^{\circ}

szöget.
A szerkesztés az adott szakaszok tetszés szerinti aránya esetén elvégezhető.

Hebling Vilmos (Veszprém, Lovassy L. Gimn., II. o. t.)

II. Megoldás. Felhasználjuk, hogy a szögfelező átmegy a háromszög köré írt kör azon ívének

F

felezőpontján, amelyet a kiindulási csúccsal szemben levő oldal metsz le a körből és hogy ez a felezőpont derékszögű háromszög esetében az átfogó (mint átfogó) fölé szerkesztett egyenlő szárú derékszögű háromszög befogóinak metszéspontja.
Ennek alapján ‐ a fenti szerkesztés 1. és 2. lépése után

T

-n át is megrajzoljuk a

P T

-vel

45^{\circ}

-ot bezáró egyenest, ez a

P

-ből megrajzolt

45^{\circ}

-os egyenesből kimetszi

F

-et, ezután megrajzoljuk

F Q

-t, végül

P

-n (vagy

T

-n) át ehhez

45^{\circ}

szöggel hajló egyenessel kimetsszük belőle a keresett háromszög derékszögének

V

csúcsát. (Az ábrán

V

a fenti

U

-nak tükörképe

P T

-re.)

Fehérvári József (Budapest, Kölcsey F. Gimn., II. o. t.)