Kezdőlap


Feladat:	1296. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1970/november, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Paraméteres egyenlőtlenségek, Függvényvizsgálat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/február: 1296. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A bal oldalon a zárójeleket felbontva számos tag kiesik, a maradók pedig újabb zárójelezéssel így alakíthatók:

\begin{matrix} {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} . \end{matrix}

Ez valóban nem lehet negatív, mert mind a három tagja pozitív vagy

0

. Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha mind a három különbség

0

, más szóval, ha

a = b = c

II. megoldás. A fenti kifejtés után a bal oldal fele:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a . \end{matrix}

Tekintsük ebben

a

-t és

b

-t állandónak,

c

-t változónak és keressük meg az így adódó

\begin{matrix} c^{2} - (a + b) c + (a^{2} + b^{2} - a b) \end{matrix}

(1)

másodfokú függvény

0

-helyeit, más szóval a

\begin{matrix} c^{2} - (a + b) c + (a^{2} + b^{2} - a b) = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökeit. A diszkrimináns,

\begin{matrix} (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - 4 (a^{2} + b^{2} - a b) = - 3 {(a - b)}^{2}, \end{matrix}

csak

a = b

esetén nem negatív, csak ekkor vannak gyökök. Ekkor viszont a két gyök egyenlő, közös értékük:

\begin{matrix} \frac{a + b}{2} = a = b, \end{matrix}

és mivel (1)-ben

c^{2}

együtthatója pozitív, a függvény mindenütt pozitív, kivéve a

c = a = b

helyen, ahol

0

az értéke. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.