Kezdőlap


Feladat:	1295. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Forró Margit , Likai László
Füzet:	1970/november, 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Szorzat, hatvány számjegyei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/február: 1295. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ , és e tényezők páronként relatív prímek egymáshoz, azt kell belátnunk, hogy az adott $D$ kifejezés $2$ , $3$ és $5$ mindegyikével osztható az adott föltételek mellett. Átalakítással

\begin{matrix} D = a^{n} (a^{m - n} - 1) = a^{n} ({(a^{4})}^{k} - 1^{k}) = a^{n} \cdot D', \end{matrix}

ezért azokat az eseteket, amelyekben az állítás nyilvánvaló, elhagyva, elég azt megmutatnunk, hogy amelyik törzsszám a

2

3

és

5

közül nem osztója

a^{n}

-nek, azaz magának

a

-nak sem, az osztója

D'

-nek. Tovább egyszerűsítve, elég ezt belátni

D'' = (a^{4} - 1)

-re, ami mindenesetre osztója

D'

-nek az egyenlő kitevőjű hatványok különbségére ismert

\begin{matrix} A^{k} - B^{k} = (A - B) (A^{k - 1} + A^{k - 2} \cdot {B + A}^{k - 3} \cdot B^{2} + ... + B^{k - 1}) \end{matrix}

azonosság alapján, hiszen az

m > n

és

m - n = 4 k

föltevésekre tekintettel

k \geq 1

.
Mármost

\begin{matrix} D'' = (a^{2} - 1) (a^{2} + 1) = (a - 1) (a + 1) (a^{2} + 1), \end{matrix}

eszerint, ha

a

nem osztható

2

-vel, akkor a jobb oldal első tényezője páros (a semmitmondó

a = 1

esetet el is hagyhatjuk);
ha

a

nem osztható

3

-mal, akkor az első két tényező valamelyike osztható vele, hiszen

(a - 1)

a

és

(a + 1)

egymás utáni természetes számok, és bármely három egymás utáni egész szám közül egy osztható

3

-mal;
végül ha

a

és még

D''

első két tényezője sem osztható

5

-tel, akkor

a

ilyen alakú:

a = 5 m \pm 2

, és ekkor

D''

harmadik tényezője osztható

5

-tel, mert

a^{2} + 1 = 5 (5 m^{2} \pm 4 m + 1)

. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Forró Margit (Komárno, Általános Középiskola, II. o. t.)

Megjegyzések 1. Azt is látjuk, hogy

D

mindig osztható

60

-nal is, mert ha

a

páros, akkor

n \geq 2

miatt

a^{n}

2

-nek legalább a

2

. hatványával osztható, ha pedig

a

páratlan, akkor

2^{4}

-nel is, hiszen ekkor

D''

mindhárom tényezője páros és

a - 1

a + 1

egyike

4

-gyel is osztható.
2. A

3

-mal való oszthatóság a következő alakításból is látható:

\begin{matrix} D = a^{n - 2 k} {(a^{2 k} - 1) a^{2 k} (a^{2 k} + 1)} . \end{matrix}

Likai László (Eger, Alpári Gy. Közg. Szki.)