Kezdőlap


Feladat:	1294. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Balogh Zoltán , Füredi Zoltán , Szekeres Vince
Füzet:	1971/január, 15 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/február: 1294. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Csak akkor foglalkozhatunk a kérdéssel, ha a gyökök valósak, vagyis $b^{2} - 4 c \geq 0$ . A követelmény alapján az $x_{1}$ -gyel jelölt gyök $b$ -vel is, $c$ -vel is kifejezhető a másodfokú egyenlet együtthatói és a gyökök közti ismert összefüggéseket felhasználva, így tehát a keresett összefüggést az a követelmény adja meg, hogy a két kifejezésnek egyenlőnek kell lennie.
Mivel itt a négyzetes tag együtthatója $a = 1$ , azért a kívánt kapcsolat figyelembevételével

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = x_{1} - x_{1}^{2} = - b, \\ x_{1} x_{2} = - x_{1}^{3} = c . \end{matrix}

Az utóbbiból

\begin{matrix} x_{1} = \sqrt[3]{- c}, \end{matrix}

és ezt az elsőbe helyettesítve a keresett összefüggés, alkalmas rendezéssel

\begin{matrix} \sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{c^{2}} = b (és b^{2} - 4 c \geq 0) . \end{matrix}

(1)

Adott esetben a feltétel teljesülése kényelmesebben ellenőrizhető gyökjelmentes alakban. Köbreemeléssel és (1)-et ismét figyelembe véve ilyen alakot kapunk:

\begin{matrix} c + 3 c (\sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{c^{2}}) + c^{2} = c + 3 b c + c^{2} = b^{3}, \end{matrix}

átrendezve

\begin{matrix} b^{3} - 3 b c - c^{2} - c = 0. \end{matrix}

(2)

Megjegyzések. 1. Az (1) és (2) föltétel nemcsak szükséges (hiszen a követelmény teljesüléséből indultunk ki), hanem elegendő is. Ha ugyanis (2)-be beírjuk a

\begin{matrix} b = - (x_{1} + x_{2}) c = x_{1} x_{2} \end{matrix}

összefüggéseket, szorzattá alakítással adódik

\begin{matrix} x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} = (x_{1}^{2} + x_{2}) (x_{1} + x_{2}^{2}) = 0, \end{matrix}

eszerint

\begin{matrix} vagy x_{1}^{2} + x_{2} = 0, vagy x_{2}^{2} + x_{1} = 0, \end{matrix}

tehát a követelmény teljesül.

Balogh Zoltán (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o. t.)

Füredi Zoltán (Budapest, Móricz Zs. Gimn., II. o. t.)

2. A kívánt kapcsolatot felmutató egyenletre konkrét számpéldát természetesen nem (1) vagy (2) alapján írunk föl, hanem

x_{1}

megválasztásával. Legyen pl.

x_{1} = 1 / 2

, ekkor

x_{2} = - 1 / 4

, és az a másodfokú egyenlet, melynek e két szám a gyöke:

\begin{matrix} (x - 1 / 2) (x + 1 / 4) = x^{2} - x / 2 - 1 / 8 = 0 \end{matrix}

és a

b = - 1 / 2

c = - 1 / 8

értékpár valóban teljesíti (1)-et.

II. megoldás. Jelölje

ε

+ 1

és

- 1

számok egyikét, ekkor

\begin{matrix} x_{1} = \frac{1}{2} (- b - ε \sqrt[]{b^{2} - 4 c}), x_{2} = \frac{1}{2} (- b - ε \sqrt[]{b^{2} - 4 c}) \end{matrix}

és ha a követelmény teljesül, akkor

\begin{matrix} \frac{1}{4} {(- b + ε \sqrt[]{b^{2} - 4 c})}^{2} = \frac{1}{2} (b + ε \sqrt[]{b^{2} - 4 c}), \end{matrix}

(3)

kifejtve

\begin{matrix} b^{2} - b - 2 c = ε (b + 1) \sqrt[]{b^{2} - 4 c}, \end{matrix}

amiből négyzetreemeléssel (amikor mindenesetre

ε^{2} = 1

), rendezéssel ismét a fenti (2) föltételre jutunk.

Szekeres Vince (Komárno, Ált. Középisk., II. o. t.)

Megjegyzés.

ε

-nak a számításból való "kiesés'' természetesen nem azt jelenti, hogy (3) az

ε

bármelyik értékével teljesül, hanem hogy valamelyik értékével.