A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Legyen a két téglalap és , közös középpontjuk , oldalaik hossza és , ahol . mindegyik oldala szöggel hajlik mindegyik oldalához, így a két idom hosszúságú és oldalfelezői (hossztengelyei) is szöget zárnak be (, ), és a -ből és -ből álló alakzat szimmetrikus az ezek közti szögek , felezőire, mint tengelyekre nézve.
Ezeken tükrözve és egymásba mennek át, a -be, ill. -be. Legyen még -nek a , szögtartományban ( esetén az száron) levő csúcsa . Így és , közös része egy nyolcszög vagy egy rombusz aszerint, hogy nagyobb -nál vagy nem (egyenlőségük esetén a rombusz egyik csúcsa); mondhatjuk így is: a közös rész nyolcszög, ha , különben rombusz. Az által (egyszeresen) lefedett terület pedig , ill. , ahol , az illető idom területét is jelöli. II. Az első esetben -nek -ból induló, hosszúságú oldala -en metszi nek hosszúságú oldalát az pontban, az hosszúságú oldalát pedig -n az pontban és még egyszer -ben. Ekkor -et úgy kapjuk, hogy -hez hozzáveszünk két-két , ill. átfogójú, egyenlő szárú, derékszögű háromszöget (hiszen egyenlő és a háromszög területének különbségével). A két átfogó hossza kiszámítható a következő egyenletrendszerből:
( és mindegyike tartalmazza a kétféle háromszög egy-egy befogóját, továbbá egyet-egyet az átfogók közül), éspedig | | ahonnan a háromszög területének összege | | és ezt -vel növelve az alakzat területe Eredményünk addig érvényes, amíg , azaz (és persze ). Ez a korlát éppen , vagyis azt kívánja, hogy a átlója és hossztengelye közti szög ne legyen kisebb -nál, amit az ábra szemléletéből is kiolvastunk. ( viszont mindig pozitív. A második esetben oldala egyenlő a befogójú, egyenlő szárú, derékszögű háromszög átfogójával, magassága pedig maga , így az alakzat területe hacsak | |
III. Vizsgáljuk és területének arányát, mint az oldalak arányának függvényét, míg az -től -ig; majd tovább -ig csökken (azonban ), más szóval és szélességét egyre csökkentve, hosszúságukat állandóan tartva. Az első intervallumban | | (1) | és itt csökkentésével a második tényező változó része monoton nő. Ha ugyanis , akkor | | mert mindkét tényezője pozitív. Így első kérdésünk szempontjából csak az értékhez tartozó értékre van szükségünk. A második kérdés céljára az -hez tartozó (lehető legkisebb) érték: . A intervallumban pedig csökkenésével ez is monoton nő, esetén ; másrészt minden -re . Azaz -nak nincs legnagyobb értéke, de bármilyen kicsi pozitív szám , van olyan arány, amelyre (természetesen ). IV. Az eddigiek szerint értéke ‐ hacsak ‐ egyértelműen meghatározza oldalainak arányát, éspedig esetén az (1)-ből adódó másodfokú egyenlet és közti gyöke lesz az arány (tudjuk, hogy van ilyen gyök és csak egy, mert a másik gyök ennek reciproka, tehát ), továbbá esetén pedig (2)-ből
Turán György (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.) |
Kovalcsik András (Balassagyarmat, Balassi B. Gimn., II. o. t.) |
|