Az adott kifejezés értéke az $ABC$ háromszög csúcsaiban rendre $0$, $0$, $2AC$. Tegyük fel a továbbiakban, hogy $P$ a háromszög csúcsaitól különböző pont. Forgassuk el a $BP$ szakaszt $A$ körül úgy, hogy $B$ a $C$-be jusson, legyen $P$ új helyzete $P\text{'}$, eszerint $BP=CP\text{'}$. Az elforgatás szöge ${60}^{\circ }$, ezért $APP\text{'}$ szabályos háromszög, és így $AP=P\text{'}P$. Függvényünk értéke így kifejezhető a $C$, $P$, $P\text{'}$ pontok közti szakaszokkal: $AP+BP-CP=P\text{'}P+CP\text{'}-CP$.
Ha ez a három pont nincs egy egyenesen, akkor a háromszög‐egyenlőtlenség miatt a függvény értéke pozitív. Akkor is pozitív a függvény értéke, ha a pontok egy egyenesen vannak, de $P\text{'}$ nincs a $CP$ szakaszon, hiszen ekkor vagy a $P\text{'}P$, vagy a $CP\text{'}$ szakasz tartalmazza a $CP$ szakaszt. Ha pedig $P\text{'}$ a $CP$ szakaszon van, akkor a függvény értéke $0$. A függvény minimuma (figyelembe véve a csúcsokban felvett értékeit is) ezek szerint $0$, és ezt akkor veszi fel, ha $P$ az $A$ vagy a $B$ csúccsal azonos, vagy ha $P\text{'}$ a $CP$ szakaszon van (1 ábra).

 

1. ábra

 

 

2. ábra