Kezdőlap


Feladat:	1290. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss György , Szeredi János
Füzet:	1970/október, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Műveletek polinomokkal, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/január: 1290. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A nevező két tagjában a két-két tényező mindegyike nemnegatív, és csak $a = b = 0$ esetén válik 0-vá. Ez az egyetlen olyan $a$ , $b$ értékpár, amely mellett a kifejezés nincs értelmezve, ezt kizárjuk.
A nevező alábbi alakjában:

\begin{matrix} N = (a^{2} + b^{2}) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a^{2} + b^{2}) a b + a^{2} b^{2} \end{matrix}

a 2. és 3. tag közös tényezőjét kiemelve a zárójelben az 1. tag 2. tényezője adódik, így

\begin{matrix} N = {(a^{2} + a b + b^{2})}^{2} . \end{matrix}

Itt a zárójelbeli kifejezés tovább nem alakítható szorzattá, mert láttuk, hogy csak akkor 0, ha

a = b = 0

, ha pedig két (elsőfokú) tényező szorzataként volna írható, akkor mindegyik tényezőhöz volna olyan

a

b

értékpár, amely mellett annak a tényezőnek az értéke 0 volna, és így a szorzat is eltűnne.
Ezek szerint a tört csak

M = a^{2} + a b + b^{2}

-tel vagy magával

N = M^{2}

-tel lehet egyszerűsíthető. Próbát téve a könnyű számításra vezető

a = 2

b = 1

értékpárral,

M = 7

, a számláló pedig

9 \cdot 27 + 2 \cdot 8 = 259 = 7 \cdot 37

, ez sejteni engedi, hogy egyszerűsíthetünk

M

-mel.

M^{2}

-vel viszont nem várható, hogy egyszerűsíthessünk, hiszen

7 \cdot 37

nem osztható

7^{2}

-tel.
A számláló kifejtése és kellő átcsoportosítása igazolja sejtésünket:

\begin{matrix} a^{6} & + 3 a^{5} b + 3 a^{4} b^{2} + 4 a^{3} b^{3} + 3 a^{2} b^{4} + 3 a b^{5} + b^{6} = \\ = (a^{6} + a^{5} b + a^{4} b^{2}) + 2 (a^{5} b + a^{4} b^{2} + a^{3} b^{3}) + \\ + 2 (a^{3} b^{3} + a^{2} b^{4} + a b^{5}) + (a^{2} b^{4} + a b^{5} + b^{6}) = \\ = M (a^{4} + 2 a^{3} b + 2 a b^{3} + b^{4}), \end{matrix}

az új zárójelből viszont már nem emelhető ki

M

, mert így alakítható:

\begin{matrix} {(a^{2} + a b + b^{2})}^{2} - 3 a^{2} b^{2} = M^{2} - 3 a^{2} b^{2}, \end{matrix}

és itt a 2. tag nem osztható

M

-mel. Ezek szerint a tört egyszerűsített alakja:

\begin{matrix} \frac{a^{4} + 2 a^{3} b + 2 a b^{3} + b^{4}}{a^{2} + a b + b^{2}} \end{matrix}

Szeredi János (Budapest, II. Rákóczi F. Gimn., II. o. t.)

Kiss György (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Könnyen adódnak a szorzattá alakítások abból az észrevételből is, hogy a kifejezés értéke nem változik, ha

a

-t és

b

-t fölcseréljük. Ilyen esetekben célszerű új változóknak venni az eredeti változók

a + b = s

összegét és

a b = p

szorzatát. Ezekkel a nevező

\begin{matrix} N = (s^{2} - 2 p) s^{2} + p^{2} = s^{4} - 2 p s^{2} + p^{2} = {(s^{2} - p)}^{2} = {(a^{2} + a b + b^{2})}^{2}, \end{matrix}

a számláló pedig

\begin{matrix} (s^{2} - 3 p) s^{4} + 2 p^{3} = s^{6} - 3 s^{4} p + 2 p^{3} = s^{4} (s^{2} - p) - 2 p (s^{4} - p^{2}) = \\ = (s^{2} - p) {s^{4} - 2 p (s^{2} + p)} . \end{matrix}