Kezdőlap


Feladat:	1289. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berkó András , Meződi Judit
Füzet:	1970/szeptember, 25 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Oszthatósági feladatok, Polinomok szorzattá alakítása, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/január: 1289. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy a kérdéses rendszer létezik és jelöljük alapszámát (bázisát) $b$ -vel. Ekkor

\begin{matrix} \frac{5 b^{2} + 7 b + 2}{2 b^{2} + 7 b + 5} = q, \end{matrix}

(1)

ahol

q

természetes szám. A felhasznált

7

-es számjegy miatt nyilvánvalóan

b \geq 8

. A két kifejezés egymáshoz hasonlóan szorzattá alakítható, ennek alapján

\begin{matrix} q = \frac{(5 b + 2) (b + 1)}{(2 b + 5) (b + 1)} = \frac{5 b + 2}{2 b + 5} = 2 + \frac{b - 8}{2 b + 5} . \end{matrix}

Itt az utolsó alakbeli tört kifejezés értéke egész és nem negatív, mert a számláló nem negatív, a nevező pedig pozitív. De nem lehet az értéke pozitív egész szám sem, hiszen a nevező a megengedett

b

értékekre nagyobb a számlálónál:

\begin{matrix} (2 b + 5) - (b - 8) = b + 13 ≧ 21 > 0. \end{matrix}

Ezért a tört értéke csak

0

lehet, és ebből

b = 8

q = 2

. (Valóban,

^{8)} 275 =^{10)} 189

^{8)} 572 =^{10)} 378 = 2 \cdot^{10)} 189

Berkó András (Szeged, Radnóti M. Gimn., II. o. t.)

Meződi Judit (Kaposvár, Munkácsy M. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Az (1) összefüggésből a következő másodfokú egyenlet adódik

b

-re

\begin{matrix} (5 - 2 q) b^{2} + 7 (1 - q) b + (2 - 5 q) = 0, \end{matrix}

(2)

ahol

q

-nak olyan természetes számot kell választanunk, hogy az egyenletnek legyen

7

-nél nagyobb egész gyöke. (2)-ből

\begin{matrix} b = \frac{- 7 + 7 q \pm \sqrt[]{49 {(1 - q)}^{2} - 4 (5 - 2 q) (2 - 5 q)}}{2 (5 - 2 q)} = \frac{- 7 + 7 q \pm \sqrt[]{9 q^{2} + 18 q + 9}}{2 (5 - 2 q)} = {\frac{5 q - 2}{\binom{5 - 2 q}{- 1}} \end{matrix}

Olyan

q

-t kell tehát választanunk, amelyre

\begin{matrix} \frac{5 q - 2}{5 - 2 q} \geq 8, \frac{5 q - 2}{5 - 2 q} - 8 = \frac{21 (q - 2)}{5 - 2 q} \geq 0. \end{matrix}

Itt a számláló

q < 2

-re negatív,

q \geq 2

-re nem negatív, a nevező

q < 5 / 2

-re pozitív,

q > 5 / 2

-re negatív. Így a tört

2 \leq q < 5 / 2

-re van értelmezve és nem negatív, tehát egyedül a

q = 2

egészre teljesül a feltétel. Ekkor az alapszámra a

b = 8

érték adódik.