Kezdőlap


Feladat:	1288. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Árvay László , Gáspár Gyula , Orosz Éva
Füzet:	1970/október, 63 - 64. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Sakk, Logikai feladatok, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/január: 1288. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Legyen a részt vett nagymesterek száma $x$ , így a mestereké $3 x$ , az összes résztvevőké $4 x$ és a lejátszott mérkőzések, egyszersmind az elért pontok száma ^{$^{*}$} pedig, ha minden résztvevő minden másikkal kétszer játszott, ti. egyszer világos, egyszer sötét bábokkal, $4 x (4 x - 1$ ), ugyanis minden egyes játékoshoz mint világoshoz $4 x - 1$ -féleképpen választható a sötéttel játszó partner. ‐ A másik adat szerint a mesterek együttese az összpontszámnak $1, 2 (1 + 1, 2) = 6 / 11$ részét szerezte meg.
Másrészt a mesterek együttvéve legalább annyi pontot szereztek, mint ahány mérkőzésben mind a két játékos mester volt, vagyis a fentihez hasonlóan $3 x (3 x - 1)$ pontot. Eszerint

\begin{matrix} \frac{6}{11} 4 x (4 x - 1) \geq 3 x (3 x - 1), \end{matrix}

(1)

amit 11-gyel szorozva és

3 x

-szel osztva

\begin{matrix} x \leq 3. \end{matrix}

Nem lehet azonban sem

x = 1

, sem

x = 2

, mert ezekkel (1) bal oldala nem egész szám, sem egy egésznél 0,5-del nagyobb szám.

x = 3

mellett viszont egész, tehát ez (az egyetlen) megoldás: 3 nagymester és 9 mester vett részt a körmérkőzésen.
b) A talált megoldás szerint (1)-ben egyenlőség áll, a mesterek együttesének éppen annyi pontja van, mint ahány mérkőzést egymás közt játszottak, tehát mester egyszer sem szerzett pontot nagymesterrel szemben. Így egyik mesternek sem lehet 16-nál több pontja, amennyi összejön, ha mindegyik mester-társát mindkét alkalommal legyőzte. Másrészt mindegyik nagymester legalább 18 pontot ért el a 9 mester 2-szeri legyőzésével. Ezek szerint a verseny első 3 helyezettje a 3 nagymester volt (esetleg holtversenyben).

Gáspár Gyula (Miskolc, Herman O. Gimn., II. o. t.)

Orosz Éva (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Befejezhető a fenti elindulás így is. A nagymesterek együttese számára biztos az egymás közti

x (x - 1)

játszmában elérhető ugyanennyi pont. További

x \cdot 3 x \cdot 2 = 6 x^{2}

mérkőzés mindegyikét egy mester és egy nagymester vívta meg. Legyen az ezek után járó pontokból a mesterek által megszerzett pontok számának összege

m

, így a többi

6 x^{2} - m

pont a nagymestereké lett és

\begin{matrix} 3 x (3 x - 1) + m = 1, 2 {x (x - 1) + 6 x^{2} - m}, \\ 3 x^{2} - 9 x + 11 m = 0, \\ x = \frac{1}{6} {9 \pm \sqrt[]{81 - 132 m}} . \end{matrix}

x

csak

m \leq 27 / 44

esetén valós, de

m = 0, 5

esetén

x

nem racionális.

m = 0

esetén pedig

x = 3

Árvay László (Budapest, Kölcsey F. Gimn., II. o. t.)

2.Természetesen ugyanezekre az eredményekre jutunk abból a feltevésből is, hogy bármelyik két játékos csak egyszer játszott egymással.

^{$^{*}$}Tudvalevően minden mérkőzésen 1 pontot kap a nyertes, vagy döntetlen esetén mindkét játékos

0, 5 - 0, 5

pontot.