Feladat: 1284. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Cséplő Gábor ,  Kirchner Imre 
Füzet: 1970/szeptember, 24 - 25. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/december: 1284. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Legyenek egy, a követelménynek megfelelő szám egymás utáni jegyei A, B, C, ahol A>0. Az első két négyzetszám, ti. (100A+10B+C)2 és (10B+C)2 utolsó jegye egyezik, ezért a harmadik négyzetszám utolsó jegye 0, tehát alapjának utolsó jegye is 0. Ezért valódi megoldásban C>0 is fennáll.
A követelmény szerint

(100A+10B+C)2=(10B+C)2+(100A+10B)2,
kifejtéssel és rendezéssel
2AC=B2.(1)
Itt A és C szerepe valóban felcserélhető, tehát Zoltán állítása helyes. Elég tehát azokat a számjegyhármasokat felírni, amelyekben A>C. (Nem lehet ugyanis A=C, különben (1) bal oldala 2C2 lenne, ami nem teljes négyzet (hacsak nem C=0, ezt viszont kizártuk).
 

II. Mivel (1) bal oldala páros szám, B2, és vele B is páros, továbbá A, C>0 miatt B>O. Sorravéve a páros számjegyeket
 

B=2 esetén AC=2, prim, innen A=2, C=1, a szám 221;
B=4 esetén AC=8, innen A=8, C=1, a szám 841,
és A=4, C=2, a szám 442;
B=6 esetén AC=18, innen A=9, C=2, a szám 962,
és A=6, C=3, a szám 663;
B=8 esetén AC=32, innen A=8, C=4, a szám 884.
 

Kirchner Imre (Budapest, Steinmetz M. Gimn., II. o. t.)

Cséplő Gábor (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.)

 

Megjegyzések. 1. Az állítás és a talált (1) feltétel minden olyan számrendszerben érvényes, amelyben csak a 0 végű (egész) számok négyzete végződik 0-ra. Sőt a 221 és 122 megoldás minden rendszerben érvényes úgy, hogy a harmadik négyzetszám alapjának utolsó számjegye 0. Viszont a 4-es számrendszerben 22, a 8-asban 42, a 16-osban 42, 82, 122 is 0-ra végződik, így elvileg lehetségesek más megoldások is.
2. A tízes rendszerben ‐ mint láttuk ‐ az ABC¯=221-es megoldás 4 többszöröse is megoldás. Hasonlóan már a 17-es számrendszerben a 841-es megoldás 2-szerese is megoldás.