Kezdőlap


Feladat:	1283. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Reiczigel Jenő , Varga Mária , Zentai István
Füzet:	1970/május, 204 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Műveletek polinomokkal, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/december: 1283. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vezessük be átmenetileg a következő jelöléseket:

\begin{matrix} b + c + d = A, c + a + d = B, a + b + d = C . \end{matrix}

Ezekkel

\begin{matrix} K & = (B - A) A B + (C - B) B C + (A - C) C A = \\ = B (A B - A^{2} + C^{2} - B C) + (A - C) C A = \\ = B {(A - C) (B - A - C)} + (A - C) C A = \\ = (A - C) {B^{2} - A B - B C + C A} = (A - C) (B - A) (B - C), \end{matrix}

végül az eredeti változókra visszatérve

\begin{matrix} K = (c - a) (a - b) (c - b) = - (a - b) (b - c) (c - a) . \end{matrix}

Látjuk, hogy a kifejezés nem függ

d

-től.

Zentai István (Budapest, Móricz Zs. Gimn., I. o. t.)

Varga Mária (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.)

II. megoldás.

K

első tagja (

3

tényezős szorzata) részbeni kifejtéssel így alakítható:

\begin{matrix} (a - b) {a b + (a + b) (c + d) + {(c + d)}^{2}} = \\ = a b (a - b) + (a^{2} - b^{2}) (c + d) + (a - b) {(c + d)}^{2} . \end{matrix}

És mivel

K

második tagja úgy áll elő az elsőből ‐ és a harmadik is a másodikból ‐, hogy minden egyes

a

b

c

d

betű helyére rendre a

b

c

a

d

betűt írjuk, azért a további két szorzat:

\begin{matrix} b c (b - c) + (b^{2} - c^{2}) (a + d) + (b - c) {(a + d)}^{2}, \\ c a (c - a) + (c^{2} - a^{2}) (b + d) + (c - a) {(b + d)}^{2} . \end{matrix}

Könnyen belátható, hogy további kifejtéssel a 3. oszlopban

d^{2}

együtthatója

0

, ugyanígy

d

-é is (a 2. és 3. oszlopban külön-külön is), továbbá, hogy az 1. és 2. oszlopból a

d

-t nem tartalmazó rész is

0

. Eszerint csupán a 3. oszlopból, mindjárt tovább alakítva

\begin{matrix} K & = (a - b) c^{2} + (b - c) a^{2} + (c - a) b^{2} = \\ = (a - b) c^{2} + {a b (a - b) - c (a^{2} - b^{2})} = \\ = (a - b) {c^{2} - (a + b) c + a b} = (a - b) (c - b) (c - a) . \end{matrix}

Az utolsó alakításban azt a felismerést használtuk fel, hogy a

{

}-ben álló kifejezést

c

-re vonatkozó,

0

-ra redukált másodfokú egyenlet bal oldalának tekintve, ennek gyökei

a

és

b

III. megoldás. Kifejezésünk bármelyik betűre mint változóra nézve legföljebb másodfokú polinom. Tekintsük

a

polinomjának, ekkor

\begin{matrix} K = k (a - a_{1}) (a - a_{2}) \end{matrix}

alakban írható, ahol

k

a^{2}

együtthatója,

a_{1}

és

a_{2}

pedig a polinom zérushelyei.
Könnyű belátni, hogy

a

helyére

b

-t, vagy

c

-t helyettesítve

K = 0

adódik pl.

a = b

esetén

K

első tagja

0

, a másik kettő pedig csak az első tényezőkben különbözik, ezek összege pedig

0

), tehát

a_{1} = b

a_{2} = c

. Továbbá

a^{2}

együtthatója

\begin{matrix} k = (b + c + d) + (b - c) - (b + c + d) = b - c, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} K = (b - c) (a - b) (a - c) . \end{matrix}

Reiczigel Jenő (Budapest, Fazekas M. Gimn., II. o. t.)