Kezdőlap


Feladat:	1281. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Angyal J. , Balogh Z. , Benkő L. , Bodnár I. , Boros E. , Breuer P. , Bruckner Lívia , Cseresnyés Mária , Fazekas István , Fazokas Mária , Füredi Zoltán , Fürst Éva , Gádoros L. , Garay B. , Hadik Gy. , Hanák G. , Hollósy G. , Jambricska L. , Katona E. , Kirchner I. , Kiss Ipoly , Kiss Katalin , Kővári Edit , Kuhár J. , Kökényesi Gy. , Lábody Sarolta , Lóránd F. , Major I. , Nagy Sándor (Bp. I. István) , Nyilánszky M. , Oláh Vera , Pataki B. , Petz D. , Pintér István , Pókos Z. , Rédei O. , Reichenbach P. , Reiczigel J. , Schmidt F. , Selényi P. , Smohay F. , Szendrei Ágnes , Szepesi L. , Várgedő T. , Wittmann I.
Füzet:	1970/október, 60 - 61. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/november: 1281. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A beküldő állításai a dolgozat második mondatától kezdve helyesek. Feladatmegoldása mégsem helyes, nem határozza meg egyértelműen a $C$ csúcsot ‐ és így a háromszöget sem ‐, mert $k_{4}$ köre ‐ mint majd megmutatjuk ‐ azonos $k_{2}$ -vel. A dolgozat első mondatából hiányzik, hogy 3 független adat szükséges, márpedig az általa felhasznált, egy egyenesen levő $A$ , $E$ , $A_{0}$ pontok csak 2 független adatot (két szakaszt) jelentenek; ennélfogva helytelen a mondat következtetése, ti. hogy $D$ nélkülözhető.
$k_{2}$ és $k_{4}$ sugarai egyenlők, hiszen a 2-szeres nagyítások miatt $k_{2}$ -é is a $k_{1}$ átmérőjével egyenlő, $k_{4}$ -é pedig $k_{1}$ tükörképének átmérőjével. Így csak azt kell belátnunk, hogy $k_{2}$ , és $k_{4}$ középpontja közös.

Mivel

S

rajta van a felhasznált

A

E

A_{0}

pontok

e

egyenesén, azért mind az 5 kör középpontja ezen az egyenesen van.

k_{2}

középpontja az

A E

szakasz felezőpontjának 2-szeresre nagyított képe az

A

pontból, vagyis maga az

E

pont.
Legyen

A

-nak (a

k_{1}

kör egyik, az

e

-n levő pontjának)

S

-re vonatkozó tükörképe

A'

és ennek

S

-ből 2-szeresre nagyított képe, a

k_{3}

kör egyik, az

e

-n levő pontja,

A_{3}

. Így

S A_{3} = 2 A S

és ellentétes irányú

S A

-val, ezért

A A_{3} = 3

A S = 2 A A_{0}

. Ezért

A_{3}

-nak

A_{0}

,-ra való tükörképe

A

, vagyis

k_{4}

átmegy

A

-n. Másrészt ‐ mint a beküldő helyesen állítja ‐

k_{4}

átmegy

C

-n, ennélfogva

k_{4}

középpontját

A A_{0}

-ból az

A C

húr felező merőlegese metszi ki. Ámde ez a metszéspont a definíció szerint éppen

E

. Állításunkat bebizonyítottuk.

Füredi Zoltán (Budapest, II. Rákóczi F. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzések. 1. A legtöbb megoldás számítással igazolta

k_{2}

,és

k_{4}

azonosságát, azt is figyelembe véve, hogy

A E

egyirányú is, ellentétes irányú is lehet

A A_{0}

-lal, vagyis

A S

-sel.
2. Az eredeti feladat 4 (egy egyenesen levő) pontja már megadja a szerkesztéshez szükséges 3 független adatot.