|
Feladat: |
1279. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Arvay L. , Bacsó G. , Balog J. , Balogh Z. , Bodnár István , Breuer P. , Csernátony Géza , Domokos Mária (Makó) , Fazekas I. , Forró S. , Füredi Z. , Gál Péter , Gál Tibor , Győri E. , Hermann P. , Horváth Ferenc , Horváth Jenő , Horváth László , Horváth Mária , Kertész Á. , Kirchner I. , Kovács I. , Kramer A. , Langsádi I. , Lévai Miklós , Major Imre , Molnár Gy. , Molnár József , Móri T. , Oláh Vera , Pach J. , Pap Gy. , Reiczigel J. , Szarka Imre , Tarsó B. , Tegze M. , Turán Gy. , Varga György , Varga Mária |
Füzet: |
1970/szeptember,
22 - 24. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Párhuzamos szelők tétele, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1969/november: 1279. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. 1. Jelöljük az adott szakaszokat , -vel úgy, hogy legyen, így a háromszög harmadik magassága . A háromszög területét felhasználva a rájuk merőleges oldalak rendre: Innen vagyis a háromszög oldalainak arányát megadja a megfelelő magasságok reciprokainak aránya. Az utóbbiak ismeretében a keresetthez hasonló háromszöget szerkesztünk, majd ezt úgy nagyítjuk (ill. kicsinyítjük), hogy legkisebbik magassága legyen. 2. Egy tetszés szerinti szakaszt hosszúságegységnek választva a magasságok reciproka szerkeszthető, pl. egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metszve. Legyen , mérjük fel ezt a szakaszt az szög szárára ‐ legyen a végpontja ‐ , -re pedig az , és szakaszt és húzzuk meg a párhuzamost -n át -lal és -lal, az -lal való , ill. metszéspontig (1. ábra). 1. ábra Ekkor | | alapján az , , továbbá szakaszokból szerkesztett háromszög hasonló a keresetthez. Ezért a egyenest -tól távolságban, az pontban metszve, végül a egyenest az -n átmenő, -gal párhuzamos egyenessel -ben metszve, egy a követelményt kielégítő háromszög (2. ábra). 2. ábra 3. Valóban az háromszög -ból induló magassága , és véve a -ból és -ből húzott , ill. magasságait, ezek reciprokainak aránya (1), valamint a végzett szerkesztések szerint: | | továbbá egyrészt | | innen ; másrészt | | innen pedig a legutóbbi eredmény alapján 4. A szerkesztés végrehajtható volta csak azon múlik, létrejön-e az háromszög, vagyis legnagyobb oldala kisebb-e a másik kettő összegénél, azaz teljesül-e Innen rendezéssel | | ugyanis a szakaszok pozitívok. Eszerint a szerkesztés végrehajtható, ha
Bodnár István (Eger, Gárdonyi G. Gimn., II. o. t.) |
Csernátony Géza (Budapest, L László Gimn., II. o. t.) |
Lévai Miklós (Tata, Eötvös J. Gimn., I. o. t.) |
Szarka Imre (Komárno, Ált. Középisk., Szlovákia) | Megjegyzés. Megemlítünk két más eljárást szakaszok reciprokának, ill. azzal arányos szakasznak szerkesztésére. A szakaszra -ben merőlegesen álló egyenesre felmérjük az szakaszt, majd -t metsszük az -re -ben állított merőlegessel a pontban, ekkor (3. ábra). 3. ábra Egy kör (egymáshoz elég közel választott) és pontja körül kört írunk , ill. sugárral, majd ezeknek a körön kívül fekvő metszéspontja körül sugárral. Jelöljük -nak az utóbbi körrel való egyik metszéspontját -sel, továbbá az , , egyenessel való második metszéspontját rendre gyel, -gyel, gyel (4. ábra). 4. ábra Ekkor ( az -ből -hoz húzott érintő hossza), és pl. . (V.L.) II. megoldás. Tekintsünk el egyelőre az összefüggéstől, és legyen is független adat. Az (1)-ben látott fordított arányosságot felhasználó, tetszetős elgondolás a következő. Azt, hogy az oldalak arányosak a megfelelő magasságok reciprokával, úgy is mondhatjuk, hogy az oldalak reciprokai arányosak a megfelelő magasságokkal. Szerkesszünk tehát segédháromszöget -ból, -ből és -ből mint oldalakból és tekintsük ennek (rendre) , , magasságát. Ezek is és a keresett háromszög oldalai is olyan (összetett) arányban vannak, mint , tehát a -ból, -ből és -ből mint oldalakból szerkesztett háromszög hasonló a keresetthez. Ebből a már látott módon kaphatjuk a keresett háromszöget. Az elgondolásnak azonban van egy szépséghibája; a háromszög magasságaiból nem mindig szerkeszthető háromszög. (Gondoljunk hegyes ék alakú egyenlő szárú háromszögre, ilyen már az , , oldalakkal szerkesztett háromszög is.) Eredeti feladatunkban is ez a helyzet. Eljárhatunk azonban úgy, hogy a segédháromszöget (a mondott helyett) a szakaszokból szerkesztjük mint oldalakból. Ebben a , , magasságok aránya | | (ahol , , a keresett háromszög oldalai), ezért a , , szakaszokból mint oldalakból szerkesztett háromszög hasonló a kívánthoz. ‐ Ezt tudva az I. megoldás záró része szerint járhatunk el. A segédháromszög az alkalmazott fogással megszerkeszthető (mert legnagyobb oldala ), ez azonban nem biztosítja, hogy a , , szakaszokból mindig kapunk háromszöget. Ennek feltételéül ugyanazt kapjuk, mint az I. megoldásban.
|
|