Kezdőlap


Feladat:	1277. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Zoltán
Füzet:	1970/május, 200 - 202. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/november: 1277. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Elég azt megmutatni, hogy $N = 2 n^{2} - 31$ alakú szám nem osztható a $2$ , $3$ , $5$ és $7$ egyjegyű prímszámokkal semmilyen egész $n$ esetén sem, hiszen ha osztható volna pl. $6$ -tal, akkor $2$ -vel is, $3$ -mal is osztható volna. A $2$ -es osztóra nyilvánvaló az állítás, $N$ mindig páratlan.
Egy különbség akkor és csak akkor osztható egy $d$ számmal, ha $d$ -vel osztva a tagjait, egyenlő maradékok lépnek fel, azaz ha

\begin{matrix} a = q_{1} d + r és b = q_{2} d + r (0 \leq r < d), \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} a - b = (q_{1} - q_{2}) d; \end{matrix}

és fordítva, ha

\begin{matrix} a - b = q_{3} d (és ismét b = q_{2} d + r), \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} a = (a - b) + b = (q_{3} + q_{2}) d + r . \end{matrix}

Ennek alapján a

3

5

és

7

osztók esetében külön-külön vizsgáljuk

2 n^{2}

és

31

maradékát.

3

-mal osztva,

n

legkisebb nem negatív maradéka

0

1

vagy

2

, azaz

n = 3 k

vagy

3 k + 1

vagy

3 k + 2

, ahol

k

egész, így

n^{2} = 9 k^{2} = 3 \cdot 3 k^{2}

, ill.

9 k^{2} + 6 k + 1 = 3 (3 k^{2} + 2 k) + 1

, ill.

3 (3 k^{2} + 4 k + 1) + 1

, vagyis az

n^{2} : 3

osztás maradéka

0

vagy

1

, így a

2 n^{2} : 3

osztásé

0

vagy

2

, tehát nem

1

, mint a

31 : 3

osztásé. Eszerint

N

sohasem osztható

3

-mal.
Célszerűbb a legkisebb abszolút értékű maradékot tekinteni. Így

n = 3 k + 2 = 3 (k + 1) - 1 = 3 m - 1

és

n^{2} = 3 (3 m^{2} - 2 m) + 1

, mint az

n = 3 k + 1

esetben. A további osztók esetében az egyenlő abszolút értékű maradékok esetét párokba kapcsoljuk.
Az

5

-ös osztó szempontjából

n = 5 k

, vagy

5 k \pm 1

, vagy

5 k \pm 2

, és így

\begin{matrix} 2 n^{2} = 5 \cdot 10 k^{2}, ill. 5 (10 k^{2} \pm 4 k) + 2, ill. \\ 5 (10 k^{2} \pm 8 k + 1) + 3, \end{matrix}

tehát a

2 n^{2} : 5

osztás legkisebb nem negatív maradéka

0

2

vagy

3

, viszont

31

-et osztva

1

marad, így

N

sohasem osztható

5

-tel.
Ugyanígy

n = 7 k

7 k \pm 1

7 k \pm 2

7 k \pm 3

szerint

\begin{matrix} 2 n^{2} = 7 (14 k^{2}), ill. 7 (14 k^{2} \pm 4 k) + 2, \\ ill. 7 (14 k^{2} \pm 8 k + 1) + 1, ill. 7 (14 k^{2} \pm 12 k + 2) + 4, \end{matrix}

a legkisebb nem negatív maradék rendre

0

vagy

2

vagy

1

vagy

4

, ezzel szemben a

31 : 7

osztás maradéka

3

, tehát

N

sohasem osztható

7

-tel. Ezzel ‐ az előrebocsátottak értelmében ‐ az állítást bebizonyítottuk.
Ugyanígy látható be, hogy

11

-gyel sem osztható egyetlen

N

alakú szám sem, de ezt

13

-ra már nem mondhatjuk:

n = 10

esetén

2 n^{2} - 31 = 169 = 13^{2}

. Eszerint

2 n^{2} - 31

alakú számnak nincs

13

-nál kisebb valódi osztója.

II. megoldás. Keressünk az

N = 2 n^{2} - 31

szám közelében az egyjegyű prímszámokkal osztható számot. Az

\begin{matrix} A = 2 n^{2}, B = 2 n^{2} - 2, C = 2 n^{2} - 8, D = 2 n^{2} - 18 \end{matrix}

számok szorzata:

\begin{matrix} K = A B C D = 16 n (n - 3) (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2) (n + 3) \end{matrix}

osztható hét egymás utáni szám, ti.

n - 3

n - 2

...

n + 2

és

n + 3

mindegyikével,

K

tehát osztható

2

-vel is,

3

-mal is,

5

-tel is és

7

-tel is. Emiatt az

A

B

C

D

számok között is van

2

-vel osztható, van köztük

3

-mal osztható, van köztük

5

-tel osztható, és van köztük

7

-tel osztható is. Bármelyik is osztható közülük ezekkel a számokkal,

N

nem lehet osztható velük, hiszen az

\begin{matrix} A - N = 31, B - N = 29, C - N = 23, D - N = 13 \end{matrix}

különbségek egyike sem osztható a

2

3

5

7

számok egyikével sem. Ezzel feladatunk állítását bebizonyítottuk.
Ha az

A

B

C

D

számokhoz hozzávesszük az

\begin{matrix} E = 2 (n + 4) (n - 4) = 2 n^{2} - 32, F = 2 (n + 5) (n - 5) = 2 n^{2} - 50 \end{matrix}

számokat, a fentihez hasonló meggondolással kimutathatjuk, hogy

N

nem osztható

11

-gyel sem, hiszen sem a fenti

A - N

B - N

C - N

D - N

különbségek, sem az

\begin{matrix} E - N = 1, F - N = 19 \end{matrix}

különbségek nem oszthatók

11

-gyel.

Balogh Zoltán (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o. t.)