A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen a háromszög átfogója , és legyen rajta , a , ill. befogóra az , ill. felező pontban állított merőlegesen.
Így a és a háromszög hasonló az háromszöghöz, mert a csúcsok felsorolása szerint páronként megfelelő oldalaik merőlegesek egymásra, tehát az oldalpárok aránya egyenlő: | | innen | | amit bizonyítanunk kellett.
Hetzmann Antal (Tatabánya, Árpád Gimn., I. o. t.) |
Megjegyzés. Ha a befogók egyenlők, akkor és egybeesik az átfogó felezőpontjával, az állítás semmitmondó, , hiszen ekkor is egyenlő szárú derékszögű háromszög.
Császár Gyula (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.) | II. megoldás. A fenti jelölésekkel elég azt belátnunk, hogy a átmérőjű, középpontú kört a egyenes -ben érinti, hiszen és e körnek -ből húzott szelői, mert is, is abban az derékszögtartományban vannak, mint maga az háromszög, másrészt , hiszen az háromszög köré írt kör középpontja. rajta van a átmérőjű körön, mert itt metszi egymást a két felező merőleges, amelyek pedig egymásra is merőlegesek. Választhatjuk a betűzést úgy, hogy legyen, ekkor a szakaszon, pedig az meghosszabbításán adódik, , ezért az háromszögben
hiszen egyenlő szárú háromszög. Eszerint merőleges a sugárra. Ezt akartuk bizonyítani.
Kovács István (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.) |
|