Kezdőlap


Feladat:	1274. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Koppány István
Füzet:	1970/április, 160. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Vetítések, Középvonal, Magasságvonal, Körülírt kör, Magasságpont, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/október: 1274. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A B C$ háromszög $A B$ oldalának felezőpontja $C_{0}$ , az $A$ -ból, $B$ -ből húzott magasság talppontja $A_{1}$ , ill. $B_{1}$ , és e három pont vetülete a $k$ körülírt körhöz $C$ -ben húzott $t$ érintőn rendre $C'_{0}$ , $A'_{1}$ , $B'_{1}$ . Azt fogjuk megmutatni, hogy $C'_{0}$ felezi az $A'_{1} B'_{1}$ szakaszt. Ez nyilvánvaló, ha $A$ -nál vagy $B$ -nél derékszög van, ettől az esettől a továbbiakban eltekintünk.

Legyen a háromszög

M

magasságpontjának a

C B

C A

oldalra, más szóval

A_{1}

-re, ill.

B_{1}

-re való tükörképe

M_{a}

, ill.

M_{b}

. Ezek ‐ mint ismeretes ‐ rajta vannak

k

-n. Másrészt a tükrözés alapján

C M_{a} = C M = C M_{b}

, eszerint az

M_{a} M_{b}

húr felező merőlegese, ami

k

-nak átmérője, átmegy

C

-n. Ez az átmérő viszont merőleges

t

-re, tehát

M_{a} M_{b}

párhuzamos

t

-vel, és ugyanez áll

A_{1} B_{1}

re is, hiszen ez az

M M_{a} M_{b}

háromszög középvonala. Ezért az

A_{1} A'_{1} B'_{1} B_{1}

négyszög téglalap.

C_{0}

egyenlő távolságra van

A_{1}

től és

B_{1}

-től, mert az utóbbiak az

A B

átmérőjű (Thalész-) körnek pontjai,

C_{0}

pedig a középpontja. Így pedig

C_{0}

rajta van a mondott téglalap

A_{1} B_{1}

-re merőleges szimmetriatengelyén,

C'_{0}

vetülete pedig az

A'_{1} B'_{1}

oldal felezőpontja. ‐ Ezt akartuk bizonyítani.
Ha derékszögű háromszögből indulunk ki és a derékszög csúcsában húzzuk meg az érintőt, akkor ide esnek a magasságtalppontok és mindhárom vetület is, mert a szemben levő oldal (azaz átfogó) felezőpontja a körülírt kör középpontja, és vetülete az érintési pont.

Koppány István (Eger, Gárdonyi G. Gimn., II. o. t.)