Feladat:	1273. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gönci János ,  Tatár Ágota
Füzet:	1970/május, 198 - 199. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Síkidomok átdarabolása, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/október: 1273. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. ábra   Az összeállított $9$-szög oldala, mint a felhasznált ${120}^{\circ }$ szárszögű egyenlő szárú háromszög alapja, $2$-szer akkora, mint az egységnyi oldalú szabályos háromszög magassága, vagyis $\sqrt[]{3}$ egységnyi. Így az összeállítandó szabályos $9$-szögek oldala $1$ egység lesz, hiszen mindegyikük területe $1/3$ része lesz az eredeti $9$-szögének, vagyis a területek aránya $1:3$, ekkor pedig az oldalak aránya $1:\sqrt[]{3}$. Kézenfekvő, hogy egy-egy kis $9$-szög összerakásához $3$-at‐$3$-at használjunk fel a rombuszokból, ill. egyenlő szárú háromszögekből. Célszerű azt is felhasználni, hogy egyenlő szárú háromszögeinket a tengelyük mentén kettévágva a két rész (a második befogók mentén) egységnyi oldalhosszúságú egyenlő oldalú háromszöggé illeszthető össze, és így minden idomunk minden oldala egységnyi. (Az eredeti ábra egyszerű összeállításának is lényeges eleme ez, hiszen a $\sqrt[]{3}$ hosszúságú alapok mentén már nem kapcsolódik idom.) Így összeállítási próbálgatásainkban csak a szögek nagyságára kell tekintettel lennünk, a kis $9$-szög csúcsaiban ${140}^{\circ }$ -os szöget kell lefednünk, ami vagy egészben, vagy ${40}^{\circ }+{100}^{\circ }$, vagy ${60}^{\circ }+{80}^{\circ }$ alakban lehetséges, a belső csomópontokban pedig (ti. ahol idomok csúcsai érnek össze) ${360}^{\circ }$-os szögeket.     2a). ábra     2b) ábra     2c). ábra   A mondott $3$ vágás elegendő is a kívánt összeállításhoz, ilyeneket mutat a 2a), 2b) ábra. A 2c) ábrán ezeken kívül egy ${40}^{\circ }$-os rombuszt is kettévágtunk a hosszabbik átlójával, ez az összeállítás azon alapszik, hogy a szabályos $9$-szög leghosszabb átlója egyenlő legrövidebb átlójának és oldalának összegével (3. ábra).     3. ábra   Az ábrák vékony vonalai azokat a határvonalakat mutatják, amelyeket nem kell elvágni, ha az 1. ábra belső vonalai csak rá vannak rajzolva egy szabályos $9$-szöglemezre. A vonalvastagságtól eltekintve a 2b) ábra vonalrendszere tengelyszimmetrikus.   Gönci János (Budapest, Móricz Zs. Gimn., II. o. t.) Tatár Ágota (Makó, József A. Gimn., II. o. t.)   Megjegyzés. Meg lehet mutatni, hogy minden $3n$ oldalú szabályos sokszög ($n$ egész) hasonlóan aránylag kevés vágással és könnyen igazolhatóan átdarabolható $3\text{db}$ egybevágó $3n$ oldalú szabályos sokszögbe. Bolyai Farkas egy tétele szerint bármely két sokszög átdarabolható egy velük egyenlő területű sokszögbe, ennélfogva $3$ egybevágó szabályos $n$-szög is egyetlen szabályos $n$-szögbe (akkor is, ha $n$ nem többszöröse a $3$-nak), ‐ és természetesen fordítva is érvényes az átdarabolhatóság. Ez azonban általában bonyolultabb; négyzetre lásd az 1200. gyakorlatban, K.M.L. 38 (1969) 158. o. ‐ A 993. gyakorlatban viszont (K.M.L. 32 (1966) 215. o.) szabályos ötszögnek $5$ egybevágó szabályos ötszögbe való, kevés vágást igénylő és könnyen igazolható átdarabolását láthatják az érdeklődők.