A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. ábra Az összeállított -szög oldala, mint a felhasznált szárszögű egyenlő szárú háromszög alapja, -szer akkora, mint az egységnyi oldalú szabályos háromszög magassága, vagyis egységnyi. Így az összeállítandó szabályos -szögek oldala egység lesz, hiszen mindegyikük területe része lesz az eredeti -szögének, vagyis a területek aránya , ekkor pedig az oldalak aránya . Kézenfekvő, hogy egy-egy kis -szög összerakásához -at‐-at használjunk fel a rombuszokból, ill. egyenlő szárú háromszögekből. Célszerű azt is felhasználni, hogy egyenlő szárú háromszögeinket a tengelyük mentén kettévágva a két rész (a második befogók mentén) egységnyi oldalhosszúságú egyenlő oldalú háromszöggé illeszthető össze, és így minden idomunk minden oldala egységnyi. (Az eredeti ábra egyszerű összeállításának is lényeges eleme ez, hiszen a hosszúságú alapok mentén már nem kapcsolódik idom.) Így összeállítási próbálgatásainkban csak a szögek nagyságára kell tekintettel lennünk, a kis -szög csúcsaiban -os szöget kell lefednünk, ami vagy egészben, vagy , vagy alakban lehetséges, a belső csomópontokban pedig (ti. ahol idomok csúcsai érnek össze) -os szögeket.
2a). ábra 2b) ábra
2c). ábra A mondott vágás elegendő is a kívánt összeállításhoz, ilyeneket mutat a 2a), 2b) ábra. A 2c) ábrán ezeken kívül egy -os rombuszt is kettévágtunk a hosszabbik átlójával, ez az összeállítás azon alapszik, hogy a szabályos -szög leghosszabb átlója egyenlő legrövidebb átlójának és oldalának összegével (3. ábra). 3. ábra Az ábrák vékony vonalai azokat a határvonalakat mutatják, amelyeket nem kell elvágni, ha az 1. ábra belső vonalai csak rá vannak rajzolva egy szabályos -szöglemezre. A vonalvastagságtól eltekintve a 2b) ábra vonalrendszere tengelyszimmetrikus.
Gönci János (Budapest, Móricz Zs. Gimn., II. o. t.) |
Tatár Ágota (Makó, József A. Gimn., II. o. t.) |
Megjegyzés. Meg lehet mutatni, hogy minden oldalú szabályos sokszög ( egész) hasonlóan aránylag kevés vágással és könnyen igazolhatóan átdarabolható egybevágó oldalú szabályos sokszögbe. Bolyai Farkas egy tétele szerint bármely két sokszög átdarabolható egy velük egyenlő területű sokszögbe, ennélfogva egybevágó szabályos -szög is egyetlen szabályos -szögbe (akkor is, ha nem többszöröse a -nak), ‐ és természetesen fordítva is érvényes az átdarabolhatóság. Ez azonban általában bonyolultabb; négyzetre lásd az 1200. gyakorlatban, K.M.L. 38 (1969) 158. o. ‐ A 993. gyakorlatban viszont (K.M.L. 32 (1966) 215. o.) szabályos ötszögnek egybevágó szabályos ötszögbe való, kevés vágást igénylő és könnyen igazolható átdarabolását láthatják az érdeklődők.
|
|