Feladat: 1271. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ábrahám Zoltán 
Füzet: 1970/március, 115 - 116. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számtani sorozat, Természetes számok, Szorzat, hatvány számjegyei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/október: 1271. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Hozzáadogatással könnyen kifejezhetjük az 1+2+...+N=SN összeget N első tíz természetes szám értékére:

N=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,SN=1,3,6,10,15,21,28,36,45,55.


Az eddigi SN értékek egyes helyi értékű jegyei között nem fordul elő 2, 4, 7 és 9, röviden: nincs ilyen végződésű SN. Megmutatjuk, hogy tovább sem lép fel SN-ben ilyen végződés. Ugyanis SN-ből mindjárt SN+10-et képezve 10 új tagot adunk hozzá, ezeknek a végződései között a 10-féle számjegy mindegyike pontosan egyszer lép fel, vagyis SN végződéséhez 0+1+2+...+8+9=45-öt adunk hozzá. Így SN+10 végződése 5-tel nagyobbnak adódik SN végződésénél, ha ez 5-ön aluli számjegy volt, ha pedig 5 vagy nagyobb volt, akkor 5-tel kisebbnek. Mármost a fenti négy hiányzó végződés éppen olyan két párba kapcsolható: 2 és 7, ill. 4 és 9, amelyek csak egymásból adódhatnának, N-ről N+10-re áttérve.
Ezzel beláttuk 72-re és 74-re végződő SN lehetetlenségét és további 38 soha fel nem lépő kétjegyű végződést találtunk: X2, X4, X7, és X9, ahol X bármelyik számjegyet jelentheti.
Áttérve a hátra levő 73-as kétjegyű végződésre, látjuk, hogy a 3-as végződés előfordul N=2 esetében, továbbá meggondolásunk szerint N=17-nél, mert S7 végződése 8 és 8-5=3. A teljes érték
S17=S7+45+8⋅10=153
(ugyanis a hozzáadott tagok közül 8 egy-egy tízest is tartalmaz), ez sem 73-ra végződik.
Fenti meggondolásunkat egymás után kétszer alkalmazva SN+20 végződésében SN végződése ismétlődik, hiszen így 2⋅45=90-et adunk a végződéshez. Eszerint csak 20k+2 és 20k+17 alakú N-ekre lesz SN végződése ismét 3 (k természetes szám). Mármost az SN-hez hozzáadott 20 szám összege
(N+1)+(N+2)+(N+3)+...+(N+19)+(N+20)==20N+(1+2+...+20)=20N+210,


és ez N=20k+2 esetén 400k+250, ha pedig N=20k+17, akkor 400k+550 alakú. Eszerint pedig mindkét esetben a 3-ra végződő SN-ek kétjegyű végződésében 03 és 53 váltogatják egymást, tehát valóban nem lép fel a 73-as végződés.
Egyúttal azt is kaptuk, hogy nem lehet a végződés 13, 23, 33, 43, 63, 73, 83 és 93 sem. Hasonlóan adódik, hogy ha SN egyjegyű végződése 8 (ti. 20k+7 és 20k+12 alakú N-ek esetében), akkor kétjegyű végződése csak 28 vagy 78 lehet, vagyis nem lehet 08, 18, 38, 48, 58, 68, 88 és 98.
Megállapításaink természetesen csak a tízes számrendszerre vonatkoznak.
 

II. megoldás. Könnyű belátni, hogy
SN=N(N+1)2,(1)
vagyis az összeg megkapható úgy, hogy N-et szorozzuk a rá következő természetes számmal és a szorzatot osztjuk 2-vel. Ez ugyanis érvényes, ha N=1, és feltéve, hogy valamely természetes számra érvényes, akkor érvényes a rá következőre is:
SN+1=SN+(N+1)=N(N+1)2+(N+1)=(N+1)(N|+2)2.

Az (1) összefüggés jobb oldalát teljes négyzetté alakíthatjuk, 8-cal szorozva és 1-et hozzáadva:
1+8SN=(2N+1)2.
A bal oldal tehát egy páratlan szám négyzete. Ámde SN=100k+72, 100k+73 és 100k+74 esetén 1+8SN kétjegyű végződése 77, 85, ill. 93, ami nem lehet négyzetszám végződése. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
1+8SN egyjegyű végződése 7, ill. 3 minden olyan SN-re, melynek 8-szorosa 6-ra, ill. 2-re végződik, vagyis ő maga 2-re, vagy 7-re, ill. 4-re vagy 9-re végződik. És mivel négyzetszám egyjegyű végződése sohasem 7, sem 3, azért SN-nek 1-jegyű végződése sem lehet 2, 7, 4 és 9.
A 85 nem lehet négyzetszám végződése, de az 5 lehet, ekkor a kétjegyű végződés 25, tehát a szám 100k+25 alakú, és itt k páros, ugyanis
(10m+5)2=100m(m+1)+25,
és m, m+1 egyike páros. Mármost, ha
1+8SN=200n+25,
akkor SN=25n+3, és így SN kétjegyű végződése 03, 28, 53 vagy 78. Mivel pedig minden 3-as és 8-as végű szám 8-szorosát 1-gyel növelve 5-re végződő számot kapunk, azért a 3-ra és 8-ra végződő, előbb fel nem sorolt kétjegyű számok nem léphetnek fel 1+2+...+N alakú összeg utolsó két jegyében.
 

Ábrahám Zoltán (Nagykőrös, Arany J. Gimn., II. o. t.)