Kezdőlap


Feladat:	1268. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Győri Ervin
Füzet:	1970/április, 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Eltolás, Paralelogrammák, Rombuszok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/szeptember: 1268. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A vizsgált metszéspontok mindig létrejönnek és egyértelműen meghatározottak, mert egy kör belső pontjából indított, tetszőleges irányú félegyenes pontosan egy pontban metszi a kört. A köröket jelöljük $k_{1}$ , $k_{2}$ -vel, középpontjaikat $O_{1}$ , $O_{2}$ -vel, a kerületükön keletkező metszéspontokat $P_{1}$ , $P_{2}$ -vel. A feladat szerint tehát az $O_{1} P_{2}$ , $O_{2} P_{1}$ szakaszok párhuzamosak és megegyező irányúak.

1. ábra

Tükrözve az ábrát az

O_{1} P_{2}

szakasz

t

felező merőlegesére

O_{1}

és

P_{2}

helyet cserél,

O_{2}

képe legyen

Q

(1. ábra). A

t

egyenes elválasztja az

O_{1}

P_{2}

pontokat, és mivel

O_{2} P_{2} > O_{1} O_{2}

(hiszen a középpontok távolsága kisebb, mint a körök sugara),

O_{2}

t

-nek ugyanazon az oldalán van, mint

O_{1}

. Emiatt

Q

t

-nek

P_{2}

-t tartalmazó oldalán lesz, és az

O_{1} P_{2}

és

O_{2} Q

szakaszok párhuzamosak és egyirányúak. A tükrözés miatt

O_{1} Q = P_{2} O_{2}

, tehát

Q

rajta van

k_{1}

-en, és ugyancsak rajta van az

O_{2}

-ből induló, és az

O_{1}

-ből

P_{2}

, felé haladó félegyenessel párhuzamos félegyenesen is,

Q

tehát azonos

P_{1}

-gyel. Így ‐ ugyancsak a tükrözés miatt ‐

P_{1} P_{2} = Q P_{2} = O_{2} O_{1}

, ami valóban független a félegyenesek irányának a megválasztásától. Ezt kellett bizonyítanunk.

II. megoldás. Toljuk át

k_{1}

-et

k_{2}

-be, így az

O_{1} P_{2}

félegyenes az

O_{2} P_{1}

-be jut, és

P_{1}

új,

P_{1}^{*}

helyzete

k_{2}

-n van,

P_{2}

-nek új,

P_{2}^{*}

helyzete pedig

O_{2} P_{1}

-en, és

P_{2} P_{2}^{*} P_{1}^{*} P_{2}^{*}

paralelogramma. Ezért

P_{1} P_{2}^{*}

átlója felezi a

P_{2} P_{1}^{*}

átlót (ami

k_{2}

-nek húrja), másrészt átmegy

O_{2}

-n, tehát merőleges rá. Így a négyszög rombusz,

P_{2} P_{1} = P_{2} P_{2}^{*} = O_{1} O_{2}

, állandó (2. ábra).

2. ábra

Ha valamelyik félegyenes átmegy a másik kör középpontján, pl.

O_{1} P_{2}

O_{2}

-n, akkor rombuszunk elfajul. Ekkor

\begin{matrix} P_{1} P_{2} = O_{1} O_{2} + O_{2} P_{2} - O_{1} P_{1} = O_{1} O_{2} . \end{matrix}

Győri Ervin (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., II. o. t.)