Kezdőlap


Feladat:	1267. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Turán György
Füzet:	1970/április, 156 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatok szimmetriái, Kombinatorikai leszámolási problémák, Sokszög lefedések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/szeptember: 1267. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$A$ $D$ , $E$ , $F$ osztóponton át $B A$ -val és $C A$ -val húzott párhuzamosok a háromszöget 6 paralelogrammára és 4 háromszögre vágják szét, és ezek egymás közt nyilvánvalóan egybevágók. A rész-idomok közti centrális szimmetriák és eltolási lehetőségek figyelembevételével az is könnyen adódik, hogy a paralelogrammákat a további egyenesek 4‐4 háromszögre, ill. négyszögre vágják szét, és a keletkezett 24 rész 4-esével egybevágó (az egybevágó részeket egyforma kis betűk jelölik), továbbá hogy általában két különböző betűvel jelölt rész nem egybevágó. A részek száma $7 \cdot 4 = 28$ .

Azt, hogy 4‐4 egybevágó részidom hányféleképpen cserélhető egymás között úgy, hogy egyik se maradjon eredeti helyén, elég az indexekkel megkülönböztetett

a_{1}

a_{2}

a_{3}

a_{4}

háromszögek esetében vizsgálni, hiszen ez a szám nyilvánvalóan ugyanaz lesz bármelyik másik egybevágó idomnégyes esetében. Sőt ezek helyett is elég csak az indexeket néznünk.

\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix}

Az 1-es helyére a 2-est rögzítve, az 1-est pedig rendre a további számok helyére próbálva mindhárom esetben kapunk megfelelő átrendezést, de csak egyet-egyet; ugyanis a még betöltendő két hely közül legalább az egyik vagy a 3-asnak vagy a 4-esnek az eredeti helye, másrészt éppen ezeket a számokat kell még elhelyeznünk; mármost az eszerint figyelmet kívánó helyet (ill. egyiküket) megfelelően betöltve az utolsónak maradt helyre is egy másik helyről való szám jut.
Meggondolásunkat úgy ismételve, hogy az 1-es helyére a 3-ast, majd a 4-est tesszük, ismét 3‐3 megfelelő átrendezést kapunk.
Eszerint bármelyik egybevágó idomnégyes tagjait egymás közt 9-féleképpen rendezhetjük át úgy, hogy egyikük se maradjon eredeti helyén. A 7 idomnégyesben e cseréket egymástól függetlenül végezhetjük, így az ábra megfelelő lefedéseinek keresett száma

9 \cdot 9 \cdot ... \cdot 9 = 9^{7} = 4 782 969

Turán György (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Egyenlő szárú háromszögből kiindulva a

b

és

e

, valamint a

c

és

d

jelű részek tükrösen egybevágók, hátukra fordítva helyettesíthetik egymást, ekkor 8‐8 és 4‐4‐4 rész cserélődhet egymás között. Általános meggondolás adja, hogy az 1, 2,

...

, 8 számokat 14 833-féleképpen lehet úgy átrendezni, hogy egyikük sem marad eredeti helyén, ezért ábránkon az átrendezések száma

9^{3} \cdot 14 833^{2}

. (Nem vagyunk tekintettel arra, hogy az

a

f

és

g

tengelyesen szimmetrikus idomokra egy-egy velük egybevágó részidomot melyik oldalával felfelé helyezünk rá.)
2. Meg lehet mutatni, hogy a részek között további egybevágóság nem léphet föl.