Feladat:	1265. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/december, 213 - 214. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/szeptember: 1265. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. ábra   a) A MATEMATIKA szó olvasását nyilvánvalóan csak az ábra szimmetriaközéppontjában levő $M$-től kezdhetjük, és valamelyik sarkon álló $A$ betűk egyikénél fejezhetjük be. A szimmetria miatt elég pl. a jobb alsó sarki $A$ betűkig haladó leolvasási utak számát megadnunk, a keresett szám ennek $4$-szerese. Így mindig vagy jobbra vagy lefelé kell lépnünk, minden betűre csak a bal vagy a felső szomszédjáról léphetünk át ‐ a tengelyekbeli betűkre és a sötét mező melletti $I$ betűkre pedig csak az egyetlen ilyen szomszédjukról. Ezért minden betűre annyiféleképpen érkezhetünk, mint mondott két szomszédjukra együttvéve, ill. ahányféleképpen a mondott szomszédjukra. Ezeket a számokat tünteti fel a 2. ábra, mindkét záróbetűhöz $66$ út vezet, így a MATEMATIKA szó $8\cdot 66=528$-féleképpen olvasható le az ábráról.     b) A METAMATEMATIKA szó viszont nem kezdődhet középen, mert annak az $M$-nek nincs $E$ szomszédja, de bármely más $M$-nél kezdődhet; továbbá $5.$ betűjeként ismét csak a középső $M$ használható: Így elég a METAM szórésszel foglalkoznunk, ennek minden egyes olvasási lehetősége $528$-féleképpen fejezhető be. A megoldást az előbbihez hasonlóan a 3. ábra adja, $60\cdot 528=31680$ olvasási lehetőség van. (A feladat előírásai nem zárják ki azt sem, hogy pl. $6$. betűként ugyanaz az $A$ szerepeljen, mint $4$. betűként.)   c) A MATEMATIKA szó olvasásmódjai számának $500$-ra csökkentése céljára először azt állapítjuk meg minden egyes betűről ‐ de ismét csak a jobb alsó ábrarészben ‐, hogy hány leolvasási útvonal vezet át rajta. Ugyanis az illető betűt ‐ de csak azt ‐ elhagyva, ennyivel csökken az olvasási lehetőségek száma.Ezt ‐ a METAM és a MATEMATIKA előbbi összekapcsolásához hasonlóan ‐ annak a két számnak a szorzata adja, ahányféleképpen az illető betűig a kezdő betűtől és ahányféleképpen az illető betűtől valamelyik záró betűig haladhatunk. Az utóbbi szám ugyanannyi, mint ahányféle útvonal vezet a két végző betűtől együttvéve az illető betűig, vagyis mintha fordítva olvasnók a szót.     Ezeket a számokat az eddigiek mintájára a 4. ábra mutatja, az egy-egy mezőhöz a 2. és a 4. ábrán álló számok szorzatát pedig az 5.ábra.     5. ábra   Ebben azonban az $528-500=28$-nál nagyobb szorzatokat ki sem írtuk (helyettük $x$ jel áll), hiszen a megfelelő betű elhagyása $500$ alá csökkentené az olvasási lehetőségek számát. Az 5. ábrán az eredeti ábra két szimmetriatengelyébe beírt $3-3$ szorzat elé $2$-es tényezőt írtunk, ez azt jelzi, hogy a megfelelő betű elhagyása az ábra jobb felső, ill. bal alsó negyedében is megszüntetne még ugyanannyi leolvasást. Nincs $28$-as bejegyzés az 5. ábrán, tehát az $500$-ra csökkentés nem oldható meg egyetlen betű elhagyásával. Ha viszont több betűt próbálunk elhagyni, a csökkenést csak akkor adja a hozzájuk talált számok összege, ha nincs olyan leolvasási útvonal, amely a kihagyandó betűk közül $1$-nél többön halad át. A $28$-as csökkentés többféleképpen is előállítható a talált számokból: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2+2+6+6+6+\mathrm{6,}2+2+6+6+\mathrm{12,}2+2+12+\mathrm{12,}}\end{array}$ és mindegyik alapján többféleképpen végezhető el a $6$, $5$, ill. $4$ betű kihagyása. A 6. ábra ilyen vázlatain a kihagyás miatt megközelíthetetlenné vált (zsákutcába jutott) betűket is kihagytuk.     6. ábra   Ezt a megoldást a dolgozatok beérkezése előtt adtuk nyomdába.