Feladat: 1264. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1970/március, 113 - 114. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Szorzat, hatvány számjegyei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/szeptember: 1264. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A keresett N szám ‐ ha létezik ‐ legföljebb 4-jegyű. Ugyanis tízezres és magasabb helyi értékű jegyei a többszöröseiben is csak az ilyen jegyeket befolyásolhatják, az utolsó 4 jegyet nem; így a kívánt végződést mutató többszörösök legkisebbikében már tízezres sincs.

 

 

N-jegyeit ‐ jobbról balra ‐ a, b, c, d-vel jelöljük és a szorzás visszafelé, való elvégzésével állapítjuk meg. A szorzat 9 egyese a 7⋅a részletszorzat egyes jegye, így a=7, mert 7-nek (egyjegyűekkel képezett szorzatai közül) csak a 7-szerese végződik 9-esre. Így a szorzási séma tízes helyi értékű oszlopába (az alsó sorba) 7a=49-nek átvitt 4 tízese jut, másrészt (a felsőbe) a 4⋅a szorzat egyese, azaz 8 és még (az alsóba) a 7⋅b szorzat egyese. A már meglevő 4+8=12 tízest a szorzat 6 tízesére 4 tízes egészíti ki; és mivel 7-nek csak a 2-szerese végződik 4-esre, azért b=2.
Hasonlóan kapjuk ‐ a százas és az ezres oszlopban a mögötte álló oszlopból jövő összeadási átvitelt is figyelembe véve ‐ a további jegyeket: c=1, végül d=8, a keresett szám N=8127, és 47N=381969.
 

Megjegyzés. A közkeletű szorzótáblázatokból1 (a 2‐99 számoknak a 2‐999 számokkal való szorzatai) kiolvasható N-nek utolsó 3 jegye (47-nek csak a 10k+7 alakú szorzóval képezett szorzatai végződnek 9-re, csak a (100k+27)-szeresei 69-re és közülük csak a 127-szeres végződik 969-re). Így már csak d-t kell meghatároznunk. ‐ Meggondolásunk azonban gyorsabb, mint ez a keresgélés.
 

II. megoldás. A követelmény szerint
47N=1969+10000P
ahol P természetes szám, és az ilyen N-ek (egyszersmind P értékek) legkisebbikét keressük. Osztással
N=41+212P+42+36P47=41+212P+6⋅7+6P47==41+212P+6Q,47Q=7+6P,
ahol Q szintén természetes szám, mert P pozitív, másrészt 6 és 47 relatív prímek egymáshoz; a legkisebb ilyen Q-t keressük, mert azáltal P is a legkisebb a megfelelő számok közül. Hasonlóan
P=8Q-1-Q+16,
és az utolsó tag egész szám.
Azonnal látjuk, hogy itt a legkisebb megfelelő érték Q=5, ezzel P=38, és N=8127.
1Pl. O. Schade: Szorzótábla, 2 kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1964. ‐ Demény György: Villámszorzó, Könnyűipari Kiadó, Budapest, 1952.