Kezdőlap


Feladat:	1263. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/szeptember, 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkra vonatkozó tükrözés, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/május: 1263. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} P Q_{A}, P Q_{B}, P Q_{C}, P Q_{D} \end{matrix}

szakasz rendre egyenlő a

\begin{matrix} P_{A} Q, P_{B} Q, P_{C} Q, P_{D} Q \end{matrix}

szakasszal, mert az egymás alatt állók egymás tükörképei sorra a

\begin{matrix} B C D, C D A, D A B, A B C \end{matrix}

lap síkjára vonatkozóan. Mivel az utóbbi négy szakasz feltétel szerint egyenlő, tehát az előbbi négy is, így

P

körül a

Q_{A}

Q_{B}

Q_{C}

Q_{D}

pontokon átmenő gömb húzható, éspedig ugyanakkora sugárral, mint a

Q

középpontú és

P

tükörképein átmenő gömb.
Nem vizsgáljuk annak feltételét, hogy mikor nincs

Q

egyértelműen meghatározva, illetőleg mikor létezik egyáltalán (azaz mikor van

P_{A}

P_{B}

P_{C}

P_{D}

egy síkban, és ha ez bekövetkezik, mikor alkot a négy pont húrnégyszöget). Megemlítjük csupán, hogy ha

P

a tetraéderbe írt gömb középpontja, akkor

Q

azonos

P

-vel, s így a szóban forgó tükörképeik is páronként egybeesnek.

Megjegyzés. A feladat az 1968. évi Arany Dániel verseny kezdő csoportjában, a szakosított tantervű matematikai osztályok számára a II. fordulóban kitűzött 1. feladat térbeli általánosítása (lásd K. M. L. 37 (1968) 7. o.).