|
Feladat: |
1261. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Angyal J. , Balogh Z. , Bartholy Judit , Boros E. , Breuer P. , Csatár L. , Csetényi A. , Dombi P. , Elek Ilona , Fejes G. , Fürst Éva , Garay B. , Győriványi G. , Gödöllei Margit , Horváth László , Kelen M. , Kiss Ipoly , Koch R. , Komjáth P. , Kovalcsik A. , Láng I. , Miseta Rozália , Nagy Zsuzsa , Papp G. , Papp Gábor , Pásztor M. , Reichenbach P. , Róna Julianna , Sváb J. , Szabados Gy. , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Turán Gy. , Várgedő T. , Zámolyi F. |
Füzet: |
1969/november,
148 - 150. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kombinatorikus geometria síkban, Lefedések, Partíciós problémák, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1969/május: 1261. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az adott lemezek területeinek összege területegység, tehát a kérdéses téglalapok közös oldalhossza és a belőlük egyesítendő négyzet oldala , kerülete egység. Az kerületére jutó ‐ röviden: szegélyező ‐ lemezek oldalának összege | | A kerület többlete megadja az sarkaira jutó lemez oldalának összegét, hiszen ezek a kerületben kétszer szerepelnek, a többi egyszer. Először ilyen lemezt keresünk. A szegélyező lemezek közül a legnagyobb négynek az oldala együtt , a -s összeget -tel túllépi. Legegyszerűbben úgy várható elérése, ha a mondott négy oldal valamelyikét -tel csökkentve, éppen egyik előírt szegélylemez oldalát kapjuk. Van köztük ilyen: , ezért a oldalú lemezekkel próbálkozunk négy sarkán. egy-egy oldalának lefedése céljára képezzük a (2)-ből kiválasztható pár összegét: mindegyik kisebb -nál. Az ezeket -ra kiegészítő számok rendre Az utolsó három éppen megvan a (2)-ben igénybe nem vett szegélyező lemezek oldala között, az első hármat pedig kiadja két-két ilyennek az összege: 113 +183, 113+168, 123+136 (és könnyű belátni, hogy más lehetőség nincs). Így oldalaira betöltési lehetőséget kaptunk:
(A négytagúakban a belső két tag felcserélhető.) Szükségünk is van felbontásra, mert ha a keresett és téglalapokban , ez az oldalpárjuk kétféleképpen illeszthető össze: -val vagy -t, vagy -et egyesítve, és az így adódó , , ill. , oldalpár, továbbá a és oldal éppen különböző felbontást igényel (1. ábra).
1. ábra A -at tartalmazó , , lefedéseket egybevetve kimondhatjuk, hogy -nek a -as sarokból kiinduló két oldala közül az egyiket csak a előállítással fedhetjük le, hiszen ezen a két oldalon és a -ast két helyen kívánná felhasználni. és közös része azt sejteti továbbá, hogy ezek adják a mondott és lefedési változatok közös részét. Valóban, , ami a oldal másik sarkán álló lemez oldala, várható tehát, hogy az egyik keresett téglalap szélessége (és persze további tagjuk és közös része). -t téve a oldalra (a lemezek fenti sorrendjével), és -t a rá merőleges oldalra, a kerületen hátralevő , lemez-pár helyzetét meghatározza az, hogy (és ) szomszédjának a -ot véve, köztük egy méretű téglalap‐ ,,zsák'' maradna, ami lefedhetetlen lenne (1)-ből, míg a -assal a zsák mérete , betölthető az egységnyi oldalú lemezzel, és így a lefedett rész határa töréspontjainak száma is csökken. Tovább is ezt tartva szem előtt, másrészt a -es méretet egyik keresett téglalap szélességének véve, és ezzel egy illeszkedési vonalat kijelölve, kézenfekvő a oldalú és a oldalú lemez behelyezése, majd egymás után a -esé, -esé, -asé, -esé és -esé, amivel a bal oldali téglalapot lefedtük. Hasonlóan kínálkozik egymás után a -es, -es, -es, -es, -ös, -as, -es, végül az -es lemez elhelyezése, s ezzel eleget tettünk a feladat előírásának (2. ábra).
2. ábra
Papp Gábor (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o. t.) |
Kiss Ipoly (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.) | Megjegyzés. A vizsgált összeállítást R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone és W. T. Tutte közölte, Duke Mathematical Journal, 7 (1940) 312‐340. A kérdéskörről többet olvashat az érdeklődő az Élő matematika (szerk.) Gádor Endréné, Tankönyvkiadó, Budapest, 1968) c. gyűjteményben, Gallai Tibor-nak Négyzetfelosztások, hálózatok, gráfok c. cikkében (108‐133. o.). |
|