Feladat: 1261. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Angyal J. ,  Balogh Z. ,  Bartholy Judit ,  Boros E. ,  Breuer P. ,  Csatár L. ,  Csetényi A. ,  Dombi P. ,  Elek Ilona ,  Fejes G. ,  Fürst Éva ,  Garay B. ,  Győriványi G. ,  Gödöllei Margit ,  Horváth László ,  Kelen M. ,  Kiss Ipoly ,  Koch R. ,  Komjáth P. ,  Kovalcsik A. ,  Láng I. ,  Miseta Rozália ,  Nagy Zsuzsa ,  Papp G. ,  Papp Gábor ,  Pásztor M. ,  Reichenbach P. ,  Róna Julianna ,  Sváb J. ,  Szabados Gy. ,  Szendrei Ágnes ,  Szendrei Mária ,  Turán Gy. ,  Várgedő T. ,  Zámolyi F. 
Füzet: 1969/november, 148 - 150. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikus geometria síkban, Lefedések, Partíciós problémák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/május: 1261. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott lemezek területeinek összege 1722+12+52+...+2092+2312=369664=6082 területegység, tehát a kérdéses téglalapok közös oldalhossza és a belőlük egyesítendő N négyzet oldala 608, kerülete 2432 egység.
Az N kerületére jutó ‐ röviden: szegélyező ‐ lemezek oldalának összege

113+118+123+...+209+231=1680.
A kerület 2432-1680=752 többlete megadja az N sarkaira jutó 4 lemez oldalának összegét, hiszen ezek a kerületben kétszer szerepelnek, a többi egyszer. Először ilyen 4 lemezt keresünk.
A szegélyező lemezek közül a legnagyobb négynek az oldala együtt 839, a 752-s összeget 87-tel túllépi. Legegyszerűbben úgy várható 752 elérése, ha a mondott négy oldal valamelyikét 87-tel csökkentve, éppen egyik előírt szegélylemez oldalát kapjuk. Van köztük ilyen: 205-87=118, ezért a
118,194,209,231(2)
oldalú lemezekkel próbálkozunk N négy sarkán.
N egy-egy oldalának lefedése céljára képezzük a (2)-ből kiválasztható 6 pár összegét:
312,327,349,403,425,440;
mindegyik kisebb 608-nál. Az ezeket 608-ra kiegészítő számok rendre
296,281,259,205,183,168.
Az utolsó három éppen megvan a (2)-ben igénybe nem vett szegélyező lemezek oldala között, az első hármat pedig kiadja két-két ilyennek az összege: 113 +183, 113+168, 123+136 (és könnyű belátni, hogy más lehetőség nincs). Így N oldalaira 6 betöltési lehetőséget kaptunk:
M(α)118+113+183+194,(δ)194+205+209,M(β)118+113+168+209,(ε)194+183+231,(γ)118+123+136+231,(ζ)209+168+231.
(A négytagúakban a belső két tag felcserélhető.)
Szükségünk is van 6 felbontásra, mert ha a keresett ABCD és EFGH téglalapokban AB=EF=608, ez az oldalpárjuk kétféleképpen illeszthető össze: A-val vagy E-t, vagy F-et egyesítve, és az így adódó DAEH, CBFG, ill. DAFG, CBEH oldalpár, továbbá a CD és GH oldal éppen 6 különböző felbontást igényel (1. ábra).
 

 

1. ábra
 

A 118-at tartalmazó α, β, γ lefedéseket egybevetve kimondhatjuk, hogy N-nek a 118-as sarokból kiinduló két oldala közül az egyiket csak a γ előállítással fedhetjük le, hiszen ezen a két oldalon α és β a 113-ast két helyen kívánná felhasználni. α és β közös része azt sejteti továbbá, hogy ezek adják a mondott DAEH és DAFG lefedési változatok közös részét. Valóban, 118+113=231, ami a γ oldal másik sarkán álló lemez oldala, várható tehát, hogy az egyik keresett téglalap szélessége 231 (és persze további 2 tagjuk ε és ζ közös része).
γ-t téve a CD oldalra (a lemezek fenti sorrendjével), és α-t a rá merőleges oldalra, a kerületen hátralevő 123, 136 lemez-pár helyzetét meghatározza az, hogy 118 (és 113) szomszédjának a 136-ot véve, köztük egy 5×18 méretű téglalap‐ ,,zsák'' maradna, ami lefedhetetlen lenne (1)-ből, míg a 123-assal a zsák mérete 5×5, betölthető az 5 egységnyi oldalú lemezzel, és így a lefedett rész határa töréspontjainak száma is csökken. Tovább is ezt tartva szem előtt, másrészt a 231-es méretet egyik keresett téglalap szélességének véve, és ezzel egy illeszkedési vonalat kijelölve, kézenfekvő a 231-136=95 oldalú és a 113-5=108 oldalú lemez behelyezése, majd egymás után a 61-esé, 34-esé, 20-asé, 7-esé és 27-esé, amivel a bal oldali téglalapot lefedtük. Hasonlóan kínálkozik egymás után a 205-194=11-es, 183-11=172-es, 44-es, 41-es, 85-ös, 43-as, 42-es, végül az 1-es lemez elhelyezése, s ezzel eleget tettünk a feladat előírásának (2. ábra).
 

 

2. ábra
 

Papp Gábor (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o. t.)

Kiss Ipoly (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.)
 

Megjegyzés. A vizsgált összeállítást R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone és W. T. Tutte közölte, Duke Mathematical Journal, 7 (1940) 312‐340. A kérdéskörről többet olvashat az érdeklődő az Élő matematika (szerk.) Gádor Endréné, Tankönyvkiadó, Budapest, 1968) c. gyűjteményben, Gallai Tibor-nak Négyzetfelosztások, hálózatok, gráfok c. cikkében (108‐133. o.).