Feladat: 1260. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Hennyey Katalin ,  Turán György 
Füzet: 1970/január, 22 - 23. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/május: 1260. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az I. osztályba sorolandó szelvényt csak azzal biztosíthatjuk, ha minden lehetséges kitöltést megteszünk egy-egy szelvényen (amivel persze több II., valamint III. osztályú szelvényünk is lesz), így azt kell megállapítanunk, hányféleképpen lehet a számokat az ábrába beírni a követelményeket megtartva. Legyen ez a szám K.
Nevezzük a 4 vonal metszéspontjaiba írandó 4 számot m-számoknak, a 2 vízszintes belsejére és a bal, ill. jobb szár további köröcskéire jutókat rendre v-, b-, j-számoknak (1. ábra).

 

 

1. ábra
 

Az m-számok összege nyilvánvalóan annyi, amennyivel a 4 vonal együttese 4⋅34=136 összege több az előírt számok 1+2+...+12+13=91 összegénél, vagyis 45. Így a v-számok összege 2⋅34-45=23.
Legnagyobb 4 számunk összege 13+12+11+10=46, így az m-körök nyilván csak a 13, 12, 11, 9 számokkal tölthetők be. A 13-asnak a felső sorban kell állnia, tehát valamelyik m-körben, enélkül ugyanis a felső sor összege legföljebb 12+11+10=33 lehetne. Az ábra tengelyes szimmetriája miatt rögzíthetjük a 13-ast a bal felső sarokkörbe, az így adódó kitöltések számának 2-szerese lesz K. A jobb felső sarokkörbe a maradó m-számokból csak a 11-es alkalmas, mert a másik kettő a felső sor közepére is m-számot igényelne, pl. 13+12=25-nek 34-re való kiegészítéséhez éppen a 9-es kellene, ami nem lehet v-szám. Ezért a felső sor 13+10+11, így pedig a középső sor betöltésére, mivel két v-körébe együtt 23-10=13-at kell írnunk, ami csak 8+5 vagy 7+6 alakban lehetséges, a következő 4 lehetőség adódik :
(α)  12, 8, 5, 9;(γ)  9, 8, 5, 12;(β)  12, 7, 6, 9;(δ)  9, 7, 6, 12
(a középső két számot egyelőre csökkenő rendben írtuk be).
Most már elég pl. a bal száron biztosítani a 34-es összeget, ekkor a fel nem használt számok j-számokként helyessé teszik a jobb szár összegét. A b-számokként alkalmas számhármasok, a sorrendtől egyelőre eltekintve esetenként rendre a következők :
(α):34-(13+12)=9=6+2+1,(β):9=5+3+1,=4+3+2;=4+3+2;(γ):34-(13+9)=12=7+4+1,(δ):12=8+3+1,=7+3+2,=5+4+3,=6+4+2;
A bal szár így talált 2+2+3+2=9 megoldástípusából egyet kiválasztva, azt 6-féleképpen írhatjuk be a körökbe. Minden kitöltéshez a maradó j-számok ugyancsak 6 lehetséges sorrendjének bármelyike járulhat és a középső vízszintes szakasz még minden esetben 2-féleképpen tölthető ki, tehát 6⋅6⋅2=72 lehetséges kitöltés adódik.
Mindezek szerint K=2⋅9⋅72=1296, a teljes szelvénykészlet 1296 Ft-ba kerül. ‐ Egy kitöltést a 2. ábra mutat be (az (α) eset első b-hármasával, mindenütt a csökkenő sorrendet alkalmazva.
 

 

2. ábra
 

Turán György (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)

Hennyey Katalin (Budapest, Kölcsey F. Gimn., II. o. t.)