Kezdőlap


Feladat:	1258. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/szeptember, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/május: 1258. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Először a két szélső, valamint a két belső tényező szorzatát képezve, majd az első szorzatot $z$ -vel jelölve

\begin{matrix} K = (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x + 2) = z (z + 2) = {(z + 1)}^{2} - 1. \end{matrix}

Eszerint

K

legkisebb értéke

z + 1 = 0

esetén adódik, és ekkor

K_{min} = - 1

. (Ilyenre vezető

x

érték van, mert

\begin{matrix} z + 1 = x^{2} + 3 x + 1 = 0 -ból \\ x' = \frac{- 3 - \sqrt[]{5}}{2} = - 2, 618, x'' = - 0,382.) \end{matrix}

II.

K

értéke az

x = 0, - 1, - 2, - 3

helyeken

0

, mert mindegyik helyen tényezőinek egyike

0

, így a

K

-t ábrázoló görbe e négy pontban metszi az

x

tengelyt.

A négy pont páronként egymás tükörképe a ‐

3 / 2

abszcisszájú

C

pontra nézve, ebből azt sejtjük, hogy a görbe szimmetrikus az

y

tengellyel

C

-n át fektetett párhuzamosra, mint tengelyre nézve. Valóban, a pontok abszcisszáit az origó helyett

C

-től mérve, és ezt

u

-val jelölve

\begin{matrix} u = x + \frac{3}{2}, azaz x = u - \frac{3}{2}, és így \\ K = (u - \frac{3}{2}) (u - \frac{1}{2}) (u + \frac{1}{2}) (u + \frac{3}{2}) = (u^{2} - \frac{9}{4}) (u^{2} - \frac{1}{4}) = u^{2} (u^{2} - \frac{5}{2}) + \frac{9}{16} & (1) \end{matrix}

innen pedig látjuk, hogy

K

értéke az

u

és

- u

helyeken egyenlő, a sejtett szimmetria fennáll.
Mármost a vizsgálandó tartományban

\begin{matrix} - 2 \leq x = u - \frac{3}{2} \leq - 1, tehát \\ - \frac{1}{2} \leq u \leq \frac{1}{2}, és így u^{2} \leq \frac{1}{4}, \end{matrix}

és természetesen

u^{2} \geq 0

. Eszerint az (1) jobb oldalán álló szorzat második tényezője minden figyelembe veendő helyen negatív, első tényezője pedig pozitív ‐ kivéve az

u = 0

helyet, ahol

0

. Így a szorzat negatív vagy

0

, tehát legnagyobb értéke

K_{max} = 9 / 16

, az

u = 0

, vagyis az

x = - 3 / 2

helyen.