Kezdőlap


Feladat:	1257. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beck József , Petz Dénes
Füzet:	1969/december, 211 - 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Körök, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/április: 1257. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az alapkör $k$ , az ennek $O_{1}$ és $O_{2}$ (különböző) pontja körüli $k_{1}$ , $k_{2}$ új körök metszéspontjai $P$ és $R$ , ahol $P$ ugyancsak a $k$ -n van, továbbá $k_{2}$ és $k$ másik metszéspontja $S$ . Azt fogjuk belátni, hogy $R$ , $O_{1}$ és $S$ egy egyenesem vannak.

1. ábra

O_{2}

felezi

k

-nak (egyik)

P S

ívét, mert

O_{2} P

és

O_{2} S

k

-nak (a

k_{2}

sugarával) egyenlő húrjai, így

O_{1} O_{2}

felezi az

O_{1} P

O_{1} S

egyenesek közti egyik szöget (és a csúcsszögét), más szóval

O_{1} S

O_{1} P

egyenes tükörképe

O_{1} O_{2}

-re. Ugyanez áll az

O_{1} R

egyenesre is, hiszen

P

és

R

egymás képei az új körök

O_{1} O_{2}

centrálisára nézve, ennélfogva

O_{1} R

azonos az

O_{1} S

egyenessel.
Az állítás tárgytalan, ha

S

egybeesik

O_{1}

-gyel (más szóval, ha előbb

k_{2}

-t vesszük fel, és

S

-et választjuk

O_{1}

szerepére, 2. ábra).

2. ábra

Petz Dénes (Budapest, Veres Pálné Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Fel fogjuk használni a következő segédtételt: Az egymást metsző körök egyik közös pontjából kiinduló átmérők másik végpontjait összekötő egyenes átmegy a körök másik közös pontján ‐ a 3. ábrán

k'

k''

P

P'

P''

R

‐, továbbá a mondott átmérőket az első közös pont körül ugyanabban az irányban ugyanakkora szöggel elfordítva a kapott húrok végpontjait összekötő

(Q' Q'')

egyenes ugyancsak átmegy a két kör második közös pontján.

Valóban,

P'

is,

P''

is rajta van az

R

-ben

P R

-re állított merőlegesen, továbbá a

P'' R Q''

P'' P Q''

P' P Q'

és

P' R Q'

szögek egyenlők.
Messe mármost az

S O_{1}

egyenes

k_{1}

-et

T

-ben (1. ábra). Megmutatjuk, hogy

P S

és

P T

a segédtétel állítása szerinti húrok, ezért

S T

átmegy

R

-en. Valóban,

S O_{1} P O_{2}

k

-ba írt húrnégyszög,

P O_{1} T ∢ = P O_{2} S ∢

, és így az

O_{1} P T

O_{2} P S

hasonló egyenlő szárú háromszögekből

O_{1} P T ∢ = O_{2} P S ∢

. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Beck József (Budapest, I. István Gimn., III. o. t. )