Kezdőlap


Feladat:	1256. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sashegyi László
Füzet:	1969/november, 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengely körüli forgatás, Szerkesztések a térben, Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/április: 1256. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A$ (merőleges) vetülete $e$ -n az $E$ pont, $B$ -é pedig $F$ , így a feltevés szerint $A E = B F$ . $C$ -ről azt is mondhatjuk, hogy $A$ -nak $E$ -re vonatkozó tükörképe, így $E$ felezi $A C$ -t, hasonlóan $F$ felezi $B D$ -t, tehát

\begin{matrix} A C = 2 A E = 2 B F = B D, \end{matrix}

jelöljük közös hosszukat

r

-rel.

Azt is mondhatjuk, hogy az

e

körüli,

180^{\circ}

-os forgatás

A

-t és

C

-t, valamint

B

-t és

D

-t páronként egymásba viszi át, ez pedig azt jelenti, hogy az

A B

szakaszt

C D

-be,

A D

-t pedig

C B

-be viszi, tehát

A B = C D = t

A D = C B = s

. Így pedig az

A B C

A B D

A C D

B C D

háromszögek mindegyikében egy-egy oldal hossza

r

s

, ill.

t

, tehát a háromszögek egybevágók, amint a feladat állítja.
Felhasználtuk, hogy

A

B

C

D

egymástól különböző pontok. Valóban

A

nem lehet rajta

e

-n, így

E

-től és

C

-től különböző, hiszen az ellentétes esetben

A

és

e

nem határozná meg a feladatban szereplő

S

síkot.

B

viszont azért nincs rajta

e

-n, mert különben benne volna

S

-ben; így

B

F

D

különböző pontok, és

D

sincs benne

S

-ben, különben

B

is benne volna. De pl.

C

is különböző

B

-től is,

D

-től is, hiszen

C

S

-ben van.
Meggondolásunk akkor is érvényes, ha

F

azonos

E

-vel; ekkor azonban a tetraéder elfajul, a

4

pont az

A

-n átmenő,

e

-re merőleges síkban van és egy téglalap csúcsait adja, mert átlói felezik egymást és egyenlők. Ez a helyzet már az adatokból felismerhető, ekkor ugyanis az

A B

egyenes merőleges

e

-re.

Sashegyi László (Tatabánya, Árpád Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Sokan vetületekben szemlélték a térbeli alakzatot. Az

e

-re merőlegesen álló síkokon a tetraéder éleinek vetülete egy téglalap és ennek két átlója. Azonban további síkok figyelembevétele és a tetraédernek egy téglatestbe való belefoglalása csak bonyolítja a helyzetet és ‐ mint láttuk ‐ mellőzhető.