Kezdőlap


Feladat:	1254. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szendrei Ágnes
Füzet:	1970/február, 60 - 61. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Műveletek polinomokkal, Természetes számok, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/április: 1254. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A polinom értéke $x = 0$ , $1$ , $2$ esetén rendre

\begin{matrix} p_{0} = c, p_{1} = a + b + c, p_{2} = 4 a + 2 b + c . \end{matrix}

Mivel ezek egész számok, azért

\begin{matrix} p_{1} - p_{0} = a + b, p_{2} - p_{0} - 2 (p_{1} - p_{0}) = 2 a \end{matrix}

is egész, úgyszintén a következő is:

\begin{matrix} 2 (p_{1} - p_{0}) - 2 a = 2 b . \end{matrix}

Így

x

helyére páros (egész) számot,

2 y

-t írva

\begin{matrix} p_{2 y} = a \cdot 4 y^{2} + b \cdot 2 y + c = (2 a) \cdot (2 y^{2}) + (2 b) \cdot y + c; \end{matrix}

páratlan szám,

x = 2 y + 1

esetén pedig (vagyis

y

mindkétszer egész)

\begin{matrix} p_{2 y + 1} = a (4 y^{2} + 4 y + 1) + b (2 y + 1) + c = (2 a) \cdot (2 y^{2} + 2 y) + (2 b) \cdot y + p_{1}, \end{matrix}

vagyis

p_{2 y}

is,

p_{2 y + 1}

is egész számokból szorzással és összeadással számítható, tehát egész. Ezt kellett bizonyítanunk.

II. Polinomunknak az

x = 8, 9, 10

helyeken felvett értéke egyúttal az

\begin{matrix} a {(x + 8)}^{2} + b (x + 8) + c = a \cdot x^{2} + (16 a + b) x + (64 a + 8 b + c) \end{matrix}

polinom értéke az

x = 0, 1, 2

helyen, és ezért ‐ a fentiek szerint ‐ egész számokból szorzással és összeadással adódik, egész szám, tehát az állítás ebben az esetben érvényes marad.
III. Végül, ha a

0, - 1, 2

helyekről tudjuk, hogy ott a polinom egész értéket vesz fel, ellenpéldával mutatjuk meg, hogy a polinom értéke nem minden egész helyen egész szám. Ilyen az

\begin{matrix} \frac{1}{6} x^{2} + \frac{1}{6} x = \frac{x (x + 1)}{6} \end{matrix}

polinom. Ennek értéke a kérdéses helyeken rendre

0, 0, 1

, viszont

x = 1

esetén

1 / 3

az értéke. E feltevés mellett az állítás nem marad érvényben.

Szendrei Ágnes (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o. t.)

dolgozata alapján, egyszerűsítésekkel