Feladat:	1252. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/december, 208 - 209. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Számelmélet alaptétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/április: 1252. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. ábra       2. ábra   Az 1. ábra szerint a háromszöghalmaz és tükörképe paralelogrammát ad, melyben a sorok száma az $n$ index, a (ferde, de merőlegesre is állítható) oszlopok száma $1$-gyel nagyobb, a paralelogramma pontjainak száma tehát $n\left(n+1\right)$. így az $n$ indexű háromszögszám és négyzetszám (más kifejezéssel trianguláris szám, ill. kvadrátszám): $\begin{array}{c}{\displaystyle T_n=\frac{\left(n+1\right)}{2}\mathrm{,}{Q}_n=n^2\mathrm{.}}\end{array}$ Másrészt az előírt számjegybeiktatásokkal kapott szám jegyeinek száma $2k+3$, és a szám így alakítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle S_k=5\underset{}{\overset{\underset{}{\overset{1}{⌣}}}{9}}\underset{}{\overset{\underset{}{\overset{2}{⌣}}}{9}}\text{...}\underset{}{\overset{\underset{}{\overset{k}{⌣}}}{9}}\cdot {10}^{k+2}+5\cdot {10}^{k+1}+1=\left(6\cdot {10}^k-1\right)\cdot {10}^{k+2}+5\cdot {10}^{k+1}+\mathrm{1,}}\end{array}$ eszerint azt kell belátnunk, hogy $k=\mathrm{0,1,2,}\text{...}$ esetén mindig van olyan pozitív egész $n$, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle n^2+\frac{n\left(n+1\right)}{2}=S_k\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle 3n^2+n-2S_k=0.}\end{array}$ Valóban, az egyenlet diszkriminánsa ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 1+24S_k=\left(144\cdot {10}^k-24\right)\cdot {10}^{k+2}+12\cdot {10}^{k+2}+25=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle ={12}^2\cdot {10}^{2k+2}-120\cdot {10}^{k+1}+25={\left(12\cdot {10}^{k+1}-5\right)}^2\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ teljes négyzet, és egyenletünk pozitív gyöke $\begin{array}{c}{\displaystyle n_2=\frac{-1+\left(12\cdot {10}^{k+1}-5\right)}{6}=2\cdot {10}^{k+1}-\mathrm{1,}}\end{array}$ egész szám ($n_1$ negatív, hiszen a két gyök szorzata $-2S_k/3<0$). Pl. $k=0$ és $1$ esetén az index $19$, ill. $199$, és valóban $\begin{array}{c}{\displaystyle {19}^2+\frac{19\cdot 20}{2}=\mathrm{551,}{199}^2+\frac{199\cdot 200}{2}=59501.}\end{array}$