Kezdőlap


Feladat:	1251. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ábrahám Zoltán
Füzet:	1969/december, 207 - 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gúlák, Térfogat, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/március: 1251. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A test $A B C D = N$ négyzetlapjának nincs közös éle a téglalap alakú $E F G H = T$ lappal ( $E F = 40 cm$ , $E H = 20 cm$ ), mert oldalaik hosszai különbözők. Ugyanezért a trapézok csak a párhuzamos oldalaikkal kapcsolódhatnak $N$ -hez és $T$ -hez, egymáshoz pedig a száraik mentén. Így $T$ és $N$ síkjai párhuzamosak, mert van bennük két-két különböző irányú párhuzamos él: $A B ∥ E F$ és $B C ∥ F G$ (1. ábra).

1. ábra

A szárak egyenlősége miatt a trapéz-lapok tengelyesen szimmetrikusak. Így az

E F

él felező merőleges síkja a

T

E F B A

N

és

C D H G

lapok közös szimmetriasíkja, tehát az egész testé is, és ugyanez áll az

F G

él felező merőleges síkjára.
Messük a testet az

E H

F G

éleken átmenő,

N

síkjára merőleges síkokkal három részre, így a középső rész egy trapéz alapú (egyik oldallapján fekvő) hasáb. A másik két részt messük az

E F

G H

egyeneseken átmenő,

N

síkjára merőleges síkokkal, így a középső részek (fekvő) háromoldalú hasábok, a széleken pedig négy egybevágó négyoldalú gúla keletkezik.
Legyen

F

vetülete

N

síkján

F'

, az

A B

élen

F_{1}

, így az

A B F E

lap, majd a test magassága

\begin{matrix} F F_{1} = \sqrt[]{{F B}^{2} - {(\frac{A B - E F}{2})}^{2}}, \\ F F' = \sqrt[]{{F F}_{1}^{2} - {(\frac{B C - F G}{2})}^{2}} = 120 cm, \end{matrix}

a trapéz alapú hasáb térfogata

\begin{matrix} \frac{B C + F G}{2} \cdot F F' \cdot E F = 288 {dm}^{3}, \end{matrix}

a két háromoldalú hasáb együttes térfogata

\begin{matrix} 2 \cdot \frac{A B - E F}{4} \cdot F F' \cdot F G = 72 {dm}^{3}, \end{matrix}

a négy gúla együttes térfogata

\begin{matrix} \frac{4}{3} \cdot \frac{A B - E F}{2} \cdot \frac{B C - F G}{2} \cdot F F' = 192 {dm}^{3} . \end{matrix}

Ezek alapján a test térfogata:

V = 552 {dm}^{3}

Ábrahám Zoltán (Nagykőrös, Arany J. Gimn., II. o. t. )

Megjegyzés. A test nem csonkagúla, mert a

B F

C G

, valamint

A E

D H

él-párok metszéspontja különböző. Olyan síklapú, konvex testet, melynek összes csúcsai két párhuzamos síkban vannak, prizmatoidnak nevezünk (minden. egyes oldallapja háromszög, vagy trapéz, vagy paralelogramma). Meg lehet mutatni, hogy minden ilyen test térfogata¹

\begin{matrix} V = m \cdot \frac{A_{1} + 4 K + A_{2}}{6}, \end{matrix}

ahol

A_{1}

és

A_{2}

a párhuzamos síklapok területe,

m

a két sík távolsága (magasság),

K

pedig a magasság felező merőleges síkja által kimetszett idom területe. Esetünkben

K

egy

7 \times 6 dm

méretű téglalap (2. ábra).

2. ábra

¹Lásd pl. Pólya György: A problémamegoldás iskolája I. kötet, Tankönyvkiadó, Budapest, 1967, 123-124. old., 4.22-4.29. feladatok.