Kezdőlap


Feladat:	1249. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gádoros László , Pintér István
Füzet:	1970/január, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Középpontos tükrözés, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Derékszögű háromszögek geometriája, Körülírt kör, Feuerbach-kör, Magasságpont, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/március: 1249. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tükrözzük az $A B C$ háromszög $M$ magasságpontját a $B C$ oldal $F$ felezőpontjára és jelöljük a kapott pontot $E$ -vel. Ez a tükrözés a $B$ és $C$ csúcson átmenő magasságegyeneseket a $C A$ , $B A$ oldalakra $C$ -ben, illetve $B$ -ben emelt merőlegesekbe viszi át, emiatt $B$ és $C$ rajta van az $A E$ szakasz fölötti $k$ Thalész-körön, ez tehát az $A B C$ háromszög köré írható kör.

Jelöljük az

A M

szakasz fölötti Thalész-kört

k_{1}

-gyel,

k

és

k_{1}

középpontját

O

-val, illetve

O_{1}

-gyel. Mivel

E

k

kör kerületén van,

F

pedig ‐ mint a

B C

húr felezőpontja ‐

k

belsejében, az

E

F

M

pontok különbözők. Jelöljük az általuk meghatározott egyenest

e

-vel.

E

és

M

különbözők, tehát

O

és

O_{1}

sem azonosak, és az általuk meghatározott

t

egyenes párhuzamos

e

-vel. A

k_{1}

k

köröknek

t

közös szimmetriatengelye, így e körök

A

közös pontját

t

-re tükrözve a körök

D

közös pontját kapjuk. Mivel

e

2-szer olyan messze van

A

-tól, mint

t

A

-nak

t

-re vonatkozó

D

tükörképe rajta van

e

-n,

e

tehát a

D

és

M

pontokon átmenő egyenes és ‐ mint láttuk ‐ átmegy

F

-en. Ezzel feladatunk állítását bebizonyítottuk.

Gádoros László (Tatabánya, Árpád Gimn., I. o. t.)

Pintér Mihály (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés. A fentiek alapján

k

-t

M

-ből felére zsugorítva olyan

k^{*}

kört kapunk, melyben

O_{1} F

átmérő. Mivel megfelelő állítás az

A

csúcs helyett a

B

C

csúcsokkal is igaz,

k^{*}

átmegy az

A B

A C

M B

M C

szakaszok felezőpontján és az

A B C

háromszög 3 magasságvonalának talppontjain is. Ezt a kört a háromszög Feuerbach-körének nevezzük.