Kezdőlap


Feladat:	1247. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Prőhle Tamás
Füzet:	1969/november, 145 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok szorzattá alakítása, Egész együtthatós polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/március: 1247. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Olyan egész $A$ , $B$ , $C$ , $D$ és $a$ , $b$ , $c$ , $d$ együtthatókat kell keresnünk, amelyekre

\begin{matrix} x^{6} - x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - x + 1 = (A x^{3} + B x^{2} + C x + D) (a x^{3} + b x^{2} + c x + d) \end{matrix}

azonosság, vagyis a jobb oldali beszorzás után

x

két oldali hatványainak együtthatói rendre egyenlők.

x^{6}

együtthatóiból

A a = 1

, ez csak

A = a = 1

és

A = a = - 1

mellett lehetséges. Az utóbbi azonban a két tényező-polinom mindegyikének

(- 1)

-gyel való szorzása, vagyis nem lényeges átalakítás útján visszavezethető az előbbire, ezért mellőzhető. Legyen tehát

A = a = 1

. Így

x^{5}

x^{4}

...

x

együtthatóiból és az állandókból rendre a következő egyenletrendszert kapjuk az együtthatókra:

\begin{matrix} B + b = & - 1, & (1) \\ C + B b + c = & 1, & (2) \\ D + C b + B c + d = & - 1, & (3) \\ D b + C c + B d = & - 1, & (4) \\ D c + C d = & - 1, & (5) \\ D d = & 1. & (6) \end{matrix}

Az utolsó egyenletből

D = d = \pm 1

, így

d^{2} = 1

; ennek alapján (5)-öt

d

-vel szorozva

\begin{matrix} C + c = - d \end{matrix}

(5a)

és így (2)-ből

\begin{matrix} B b = 1 + d . \end{matrix}

(2a)

Vonjuk le (1) négyzetéből (2a) kétszeresét:

\begin{matrix} B^{2} + b^{2} = - 1 - 2 d . \end{matrix}

(7)

Ez csak

d = - 1

-re nem negatív. Ekkor

B

és

b

közül az egyik

0

, a másik (1) alapján

- 1

. Mivel

A = a

D = d

folytán

b

és

B

felcserélése csak a két tényező felcserélését jelenti, feltehetjük, hogy

b = 0

B = - 1

. Ezeket felhasználva (3)-ból

c = - 1

és (5a)-ból

C = 2

. Ezekkel az értékekkel (4) is teljesül, így a keresett felbontás

\begin{matrix} (x^{3} - x^{2} + 2 x - 1) (x^{3} - x - 1) . \end{matrix}

Prőhle Tamás (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)