Feladat: 1246. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1969/november, 144 - 145. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Maradékos osztás, Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/március: 1246. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat mindkét részében olyan C egész osztandót keresünk, melyet BB¯=11⋅B-vel osztva és a hányadosból annak Q egész részét levonva 0,BB¯ és a 0,01-dal nagyobb szám közé eső különbséget kapunk, vagyis amelyre közönséges tört alakban

11⋅B100≦C11⋅B-Q<11⋅B100+1100,
ill. 1100⋅B-vel szorozva
121⋅B2≦100(C-11⋅Q⋅B)<11⋅B(11⋅B+1).(1)

Az alábbi táblázat mutatja a bal és jobb oldal értékét B szóbajövő értékeire:
 

B123456789121⋅B2121484108919363025435659297744980111⋅B(11⋅B+1)1325061122198030804422600678329900   
 

A köztük levő, felülről nyílt számközbe B=1, 4, 5, 9-re nem esik kerek százas; ha pedig
B=2,3,6,7,8,(2)
akkor az (1)-et kielégítő százasok száma rendre
Sz=5,11,44,60,78.(3)

a) Ha mármost az osztandó C=A-B≦9-2=7, tehát egyjegyű, azaz kisebb a kétjegyű BB¯ osztónál, tehát Q=0, akkor (1)-ben középen legfeljebb 700 áll, ebből B2<6, B<3. Eszerint (2)-ből és (3)-ból B=2, C=5 és A=B+C=7 megfelel. Valóban,
A-BBB¯=522=0,227...

b) A feladat második részében C=10⋅A+B, Sz=10⋅A+B-11⋅Q⋅B, és a fentiek alapján
Q=10⋅A+B-Sz11⋅B=10⋅A-Sz11⋅B+111≦90-522+111=8722<4.

Q=0 esetén A<B, Sz=10⋅A+B, vagyis Sz egyes számjegye éppen B. (2) és (3) egybevetésével egyetlen megoldásként B=8, Sz=78, és így A=7 adódik, és 78:88=0,886..., tehát ezek az értékek megfelelnek.
Q=1 esetén A≠B miatt A>B, Sz=10(A-B), ennek (3)-ban csak Sz=60, A-B=6, B=7 tesz eleget, de ebből A=13>9, ilyen megoldás tehát nincs.
Q≧2 esetén
10A+B11⋅B≧2,21⋅B≦10⋅A<91,
ezért (2)-ből csak B=2 és 3 jön szóba, Q=3 esetén pedig hasonlóan csak B=2.
Q=2, B=2 esetén az Sz=10⋅A-42=5 egyenletből A nem egész, és ugyanez adódik a (Q,B)=(2,3), (3,2), (4,2) értékpárok esetében is.
Ezek szerint Q>0 esetén nincs megoldás, azonban a kérdés félreértője is találhatott megoldást a 78:88 osztásban.
 

Megjegyzések. 1. A végtelen tizedes törtek közönséges tört alakját ismerve az is megállapítható, hogy B nem lehet relatív prím 10-hez, s így a (2) felsorolásban 3 és 7 sem jöhet szóba.
2. A számjegy fogalmán a b) részben A esetében kissé tágítva a Q=1 esetén talált A=13, B=7 is megfelel: 137:77=1,779...