Kezdőlap


Feladat:	1245. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Altorjay I. , Angyal J. , Baintner L. , Bányai A. , Barbarits A. , Benkő L. , Blahó Ágnes , Breuer P. , Csetényi A. , Egyedi D. , Fodor P. , Frankl P. , Füredi Z. , Gál P. , Garay B. , Glódy A. , Gurszky Z. , Hadik Gy. , Hadik R. , Hollósy G. , Horváth András , Horváth László , Hosszú F. , Hübler A. , István Mária , Kálmos Éva , Kiss Mária , Kovalcsik A. , Kuhár J. , Mártonfi Gy. , Miseta Rozália , Molnár Gy. , Nyilánszky M. , Pap Gy. , Pataki B. , Pataki L. , Pattantyús P. , Pintér I. , Prácser E. , Prőhle T. , Reichenbach P. , Rékasi J. , Simonyi Gy. , Somorjai G. , Sváb J. , Szirmai Z. , Viszkei Gy. , Vogel Anna , Waszlavik L. , Zámolyi F. , Zaymus V.
Füzet:	1970/március, 109 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Poliéderek súlypontja, Szabályos testek, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Szabályos tetraéder, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/február: 1245. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Mind a hat metsző sík átmegy az $A B C D$ tetraéder $S$ súlypontján. Legyen ugyanis az $A B C$ alaplap $B C$ , $C A$ , $A B$ élének felezőpontja rendre $E$ , $F$ , $G$ (1. ábra), ekkor a $D A E$ , $D B F$ , $D C G$ metszősík az alapháromszöget ennek $A E$ , $B F$ , ill. $C G$ súlyvonalában metszi, ezeknek közös pontja az $A B C$ háromszög $S_{D}$ súlypontja, tehát a $D$ -ben összefutó $3$ élre az előírás szerint fektetett síkok a $D S_{D}$ egyenesben, a tetraéder súlyvonalában metszik egymást.

1. ábra

Így e

3

sík a teret és a tetraédert

6

részre osztja (2. ábra).

2. ábra

Ugyanez kimondható a tetraéder bármelyik másik csúcsában összefutó élhármasra az előírás szerint fektetett síkhármasra és bármelyik két súlyvonal, pl.

A S_{A}

D S_{D}

, mint a

D A E

sík egyenesei, metszi egymást a tetraéder súlypontjában.
A tetraédert a

6

él és az

S

pont által meghatározott

6

háromszög négy rész tetraéderre vágja azét, ezeknek egy-egy lapja az eredeti tetraéder egyik lapja, az

S

-ben összefutó

3

lapja pedig a metsző síkoknak része. Így egy-egy ilyen rész-tetraédert csak a további

3

metsző sík darabol tovább. Mármost az

S A B C

rész-tetraédert a

D A E

D B F

D C G

síkok ugyanúgy

6

részre vágják szét, amint ezt az eredeti tetraéderre már kimondtuk. Ugyanez áll mindegyik részre, így a

6

metsző sík a tetraédert

24

részre darabolja szét.
Eddig nem használtuk fel a kiindulási tetraéder szabályos voltát, így megállapításaink minden tetraéderre érvényesek.
II. Tetraéderünk szabályos volta alapján

D A = D B = D C

, ezért

D

-nek az

A B C

lapon levő vetülete is egyenlő távolságra van

A

B

C

mindegyikétől, vagyis azonos az

A B C

háromszög köré írt középpontjával, ami szabályos háromszögben egyszersmind a súlypont is, tehát a vetület azonos

S_{D}

-vel. Így

D S_{D}

merőleges az

A B C

síkra, a

D S_{D}

tengely körüli

120^{\circ}

-os elfordítás a síkot és az

A B C

háromszöget önmagába viszi át. Ez az elfordítás az

S D A B

S D B C

S D C A

tetraédereket is egymásba viszi át, ezek tehát egybevágók. A tetraéder egy másik súlyvonala körüli elfordítás adja, hogy

S A B C

is egybevágó velük.
Az előbbi elfordításokat az

S A B C

tetraéder

6

részére alkalmazva kapjuk, hogy az

S S_{D} A G

S S_{D} B E

és

S S_{D} C F

, valamint az

S S_{D} A F

S S_{D} B G

és

S S_{D} C E

részek egymásba átvihetők, úgyszintén a fenti

3

tetraédernegyed megfelelő 3‐3 részébe is, vagyis a feldarabolás 12‐12 része egymásba alkalmas elmozdítással mindenesetre átvihető.
Az előbbi két részhármas darabjai egymásba tükrözéssel átvihetők, pl.

S S_{D} A G

S S_{D} A F

-be a

D A E

síkon való tükrözéssel, hiszen ez

B

-t és

C

-t (és így

F

-et és

G

-t is) egymásba viszi át, tehát szimmetriasíkja az eredeti tetraédernek. Így pedig a

24

rész bármelyike átvihető a másik helyére, tehát válaszunk a b) kérdésre:

23

rész.
Megmutatjuk viszont, hogy pl. az

S S_{D} C F

darab nem vihető át elmozdítással

S S_{D} A F

-be. Ugyanis legrövidebb élük

S S_{D}

, a rá következő nagyobb

S_{D} F

, mert mint könnyen belátható,

S D = 3 \cdot S S_{D}

, így

\begin{matrix} S S_{D} = \frac{D S_{D}}{4} < \frac{D F}{4} < \frac{D F}{3} = S_{B} F = S_{D} F, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} S S_{D} F ∢ = S_{D} F A ∢ = S S_{D} A ∢ = S F A ∢ = 90^{\circ} és S_{D} A F ∢ = 30^{\circ} \end{matrix}

(3. ábra) alapján

\begin{matrix} S_{D} F < S F < S A és S_{D} F < F A < S_{D} A . \end{matrix}

3. ábra

Így a kívánt átvitelben az

S S_{D} F

derékszögű háromszöglap csak önmagának felelhetne meg. Ámde a darabok ezen lapja (kívülről nézve) ellentétes körüljárású. Ezzel beláttuk állításunkat.
Eszerint az a) kérdésre a válasz:

11

rész.

Megjegyzés. A II. részben felhasznált

S D = 3 \cdot S S_{D}

egyenlőség abból adódik, hogy

E A = 3 \cdot E S_{D}

E D = 3 \cdot E S_{A}

alapján,

S_{A} S_{D} ‖ D A

, és

D A = 3 S_{A} S_{D}

, és az

A D S_{A} S_{D}

trapézból

S D : S S_{D} = D A : S_{D} S_{A} = 3