A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Előrebocsátunk egy segédtételt, amelyet az alábbi megoldások mindegyikében felhasználunk. Segédtétel: Az trapéz és szárainak és , átlóinak metszéspontját (-t és -t) összekötő egyenes felezi az és oldalt. Megfordítva, ha egy négyszögben és létrejön, és felezi az oldalt, akkor (vagyis a négyszög trapéz). Bizonyítás. Messék egymást a (konvex) négyszög és oldalai a -n, ill. -n túli meghosszabbítás pontjában, átlói az pontban (1. ábra).
1. ábra Húzzunk párhuzamost -ből -vel, -ból -vel, messék ezek az egyenest a , ill. pontban. Ekkor a párhuzamos szelők tétele szerint Ha mármost a négyszög trapéz, akkor a bal oldali arányok egyenlők, így , vagyis és egybeesik. Eszerint paralelogramma, és átlóinak metszéspontja felezi őket. Mivel , az előbbi egyenes és metszéspontja is felezi -t. Tegyük most azt fel, hogy és metszéspontja, , felezi -t. -nak -re vonatkozó tükörképe is -n van, és paralelogramma, tehát a és pont egybeesik, az (1) alatti jobb oldalak megegyeznek, tehát a bal oldaliak is, ez azonban csak úgy lehetséges, ha . Most már a bizonyítás első része adja, hogy is felezi -t. Ha -ről tesszük fel, hogy felezi -t, akkor -ből és -ből kell az átlókkal párhuzamos és egyenest húzni. I. megoldás. Segédtételünk első része alapján megszerkeszthetjük csak vonalzó segítségével az , szakaszok és felezőpontját, majd az és szakaszok és felezőpontját (2. ábra).
2. ábra Így tehát és paralelogramma, átlóik metszéspontja a keresett középvonal egy-egy pontja. Ennek alapján a szerkesztés a következő egyenesek és metszéspontok megszerkesztésével történhet: és metszéspontja , és -é , metszi -t és -t -ben és -ben. A és -nek metszéspontját -vel összekötő egyenes metszi ki -t és -t és egyben -ből az első paralelogramma középpontját. Ezt összekötve és -nek metszéspontjával, kapjuk a középvonalat.
Fürst Éva (Tatabánya, Árpád Gimn., I. o. t.) | II. megoldás. Úgy is hozhatunk létre paralelogrammákat, hogy és megszerkesztése után a segédtétel első része alapján -t megduplázzuk. és megszerkesztése után húzzuk meg -et, majd az -vel való metszéspontját -vel összekötő egyenest metsszük el meghosszabbításával -ben (3. ábra). Az trapéz szárainak és átlóinak metszéspontját összekötő egyenes felezi -t, vagyis átmegy -en, így azonos az -et az átlók metszéspontjával összekötő egyenessel. Ez nem más, mint . Tehát felezi -t, s így | | Eszerint és paralelogramma. Az utóbbinak a középpontja, -nek és -nek metszéspontja, már rendelkezésre is áll. és metszéspontja, , szolgáltatja a középvonal egy másik pontját.
Fodor Péter (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o. t.) |
3. ábra 4. ábra III. megoldás. Két paralelogrammát szerkeszthetünk a segédtétel második részének, valamint annak felhasználásával is, hogy felezi az szakaszt. Valóban, egyrészt az harmadrésze, tehát a 2/3 része; másrészt az -nek harmada, tehát -nek negyede, pedig a háromnegyede, tehát -nek a fele, amint állítottuk. Ennek alapján a következőképpen járhatunk el: az előző megoldások első 5 egyenesének a meghúzása után megrajzoljuk -et; ennek az -val való metszéspontját -vel összekötő egyenes messe -t -ben (4. ábra). trapéz, mert és oldalainak és az átlóknak metszéspontját, -t és -t összekötő egyenes felezi -et. Ekkor viszont paralelogramma, így kimetszi -ből a középvonal egy pontját. Ugyanígy szerkeszthetjük ‐ helyett -t és helyett -t véve ‐ a pontot. A kettő összekötő egyenese a keresett középvonal.
Bendzsel Miklós (Budapest, Piarista Gimn., II. o. t.) | Megjegyzés. Második paralelogramma szerkesztése nem is szükséges, hiszen is, is paralelogramma, mert
megszerkesztése után tehát akár -vel -ből, akár -vel -ből kimetszhetjük a középvonal egy-egy pontját (, ill. ). IV. megoldás. Láttuk, hogy felezi az szakaszt. Ismert ponton át a felezőpontjával együtt ismert szakasszal ‐ mint majd belátjuk ‐ párhuzamost tudunk szerkeszteni kizárólag egyenes vonalzó használatával. -n át -vel párhuzamost húzva, ez az háromszög középvonala. Ennek ismeretében a másik két középvonal is meghúzható, és ezek felezik -t és -t. A két felezőpont a középvonal egy-egy pontja. Ennek alapján a szerkesztés az pont megszerkesztése után: meghúzzuk et, az -val való metszéspontját -vel összekötő egyenes messe -t -ben (5. ábra).
5. ábra Az négyszög és oldalainak metszéspontját az átlók metszéspontjával összekötő egyenes , felezi -t. Így a segédtétel második része szerint , felezi -t, ennélfogva a egyenesnek -vel való metszéspontja felezi -t. Így , az háromszög másik két középvonala, ezért -t és -t ezek , felezőpontjában metszi, tehát az trapéz keresett középvonalának egyenese. Megjegyzések. 1. és megszerkesztése megtakarítható, ha észrevesszük, hogy trapézunk középvonalának hossza , így -től 2/3 akkora távolságban van, mint a trapéz alapja, tehát átmegy az súlypontján, ami pedig és metszéspontjaként már rendelkezésre áll. 2. -et ‐ ugyanezen egyenesek metszéspontjaként ‐ már a II. és a III. megoldásban is említettük, , ill. jelöléssel. -et viszont az I. megoldásban ‐ jelöléssel ‐ egy másik egyenessel metszettük ki -ből. A fenti 4 megoldást egy ábrán végrehajtva számos további efféle összefüggést vehetünk észre, amelyeket kombinálva további megoldásokat kaphatunk. Megoldás építhető pl. arra a tényre is, hogy miatt) a trapéz -ra vonatkozó tükörképében képe átmegy -n, képe a középvonalon van, a legutóbbi szakasz. Az I‐III. megoldások eredményei tekinthetők egy-egy olyan háromszög középvonala szerkesztésének is, amelynek egy oldala a trapéz egyik alapján fekszik, harmadik csúcsa pedig a másik alapján, pl. a és háromszög középvonala. 3. Többen felhasználták, hogy bármely trapézban az átlók metszéspontján át az alapokkal párhuzamosan húzott egyenesből a szárak közé eső szakasz hossza a két alap harmonikus középarányosa. Ez a fentieket kissé meghaladó méretű számítást igényel.
Vö. K. M. L. 37 (1968) 70. o.; továbbá 1232. gyakorlat. |