Kezdőlap


Feladat:	1243. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Angyal József , Hegyi Ferenc , Kelemen Imre , Pataki Béla
Füzet:	1970/február, 59 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Húrnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/február: 1243. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. I. Négyszögön önmagát nem metsző (nem hurkolt) négyszöget értve a húrnégyszög konvex. Legyen az átlók metszéspontja $M$ , a húrnégyszög csúcsait pedig úgy jelöljük $A$ , $B$ , $C$ , $D$ -vel, hogy az $A$ -nál levő szög egyenlő legyen az átlók közti egyik szöggel, az $A$ -n át nem menő átlónak pedig az a végpontja legyen $B$ (a másik $D$ ), amelyikre

\begin{matrix} A M B ∢ = B A D ∢ . \end{matrix}

(1)

Az előbbi szög az

A M D

háromszög külső szöge, így

\begin{matrix} A M B ∢ = A D M ∢ + D A M ∢ . \end{matrix}

(2)

Ekkor azonban

\begin{matrix} A D M ∢ = A D B ∢ = B A M ∢ = B A C ∢, \end{matrix}

(3)

mert ezek a

D A M

szöget egyenlő szögekké egészítik ki. Ezek viszont az

A B

, ill. a

B C

szomszédos oldalak látószögei a körben, tehát

\begin{matrix} A B = B C . \end{matrix}

(4)

Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.

II. Érvényes a tétel következő megfordítása: ha egy húrnégyszög két szomszédos oldala egyenlő, akkor ezek nem közös végpontjainál levő két szög egyenlő az állók közti egyik-egyik szöggel.
Valóban ‐ a fenti jelölésekkel ‐ (2) mindig fennáll és feltétel szerint pl. (4). Utóbbiból következik, hogy az

A B C

egyenlő szárú háromszögben

\begin{matrix} A C B ∢ = C A B ∢ . \end{matrix}

(5)

Másrészt húrnégyszögről van szó,

D

és

C

A B

oldalnak ugyanazon az oldalán van, így mint ugyanazon íven nyugvó kerületi szögek

\begin{matrix} A C B ∢ = A D B ∢ . \end{matrix}

(6)

Az (5) és (6) jobb oldalán álló szögek egyenlők, vagyis teljesül (3). Ezek a szögek viszont a

D A M ∢

-et az (1) bal, ill. jobb oldalán álló szöggé egészítik ki, így fennáll (1).
(1)-ből viszont következik a

C M B ∢ = B C D ∢

egyenlőség is, mert ezek a szögek az (1) bal oldalán, ill. a húrnégyszög tulajdonsága szerint a jobb oldalon levő szöget

180^{\circ}

-ra egészítik ki.

Kelemen Imre (Eger, Gárdonyi G. Gimn., I. o. t.)

Hegyi Ferenc (Székesfehérvár, Teleki B. Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés. Érvényes az állítás következő, kevésbé kézenfekvő megfordítása is: ha egy konvex négyszög két szomszédos oldala egyenlő és ezek egyikének nem közös végpontjában a négyszög szöge egyenlő ezen oldalnak az átlók metszéspontjából való látószögével, akkor a négyszög húrnégyszög. Azaz, ha fennáll (1) és (4), akkor (6)-ra akarunk következtetni. Azonban (1)-ből (2) alapján következik (3), mint I-ben, és az

A B C

háromszög egyenlő szárú volta miatt fennáll (5). Ezekből pedig következik (6). Mivel a négyszög konvex, így valóban húrnégyszög.

Angyal József (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Legyen ismét

B A D ∢ = B M A ∢

B A D

és

B M A

hasonló háromszögek, mert

B

-nél levő szögük közös, így

\begin{matrix} \frac{B D}{B A} = \frac{B A}{B M}, \end{matrix}

B C D

és

B M C

háromszögekben pedig

B C D ∢ = 180^{\circ} - B A D ∢ = 180^{\circ} - B M A ∢ = B M C ∢

, ezek is hasonlók, tehát

\begin{matrix} \frac{B D}{B C} = \frac{B C}{B M}, \end{matrix}

és e két egyenlőségből

B A = B C

.
Ha viszont

B A D ∢ + B C D ∢ = 180^{\circ}

és

B A = B C

, akkor egyszersmind

B D A ∢ = B A C ∢ = B A M ∢

, tehát a

B

-nél közös szöggel bíró

B A D

és

B M A

háromszögek harmadik szögei is egyenlők:

B A D ∢ = B M A ∢

, vagyis a tétel ezen megfordítása is érvényes.

Pataki Béla (Budapest, I. István Gimn., I. o. t.)