Feladat: 1242. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Hermann Tamás 
Füzet: 1970/január, 20 - 21. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/február: 1242. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A kívánt azonosság akkor és csak akkor teljesül, ha a jobb oldalon beszorozva és x hatványai szerint rendezve x ugyanazon kitevős hatványainak együtthatói a két oldalon egyenlők:

-a=-a-b-c,(2)b=ab+ac+bc=a(b+c)+bc,(3)-c=-abc.(4)

(2)-ből b+c=0, ezt (3)-ba helyettesítve, majd 0-ra redukálva
b(1-c)=0.
Ez kétféleképpen teljesülhet:
I. ha b=0, akkor (2)-ből c=0, és így (4) is teljesül, bármi is az a együttható;
II. ha 1-c=0, azaz c=1, akkor (2)-ből b=-1, (4)-ből pedig a=-1.
 

Hermann Tamás (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)

 

II. megoldás. Helyettesítsünk (1)-ben x helyébe a-t, ekkor nyerjük, hogy
ab-c=0,c=ab.(5)
Ezt beírva (1)-be és x helyébe b-t helyettesítve
b3-ab2+b2-ab=b(b+1)(b-a)=0.(6)

Írjunk végül x helyébe 0-t, ekkor (5) felhasználásával
-c=-abc,c(ab-1)=ab(ab-1)=0.(7)

(6) három esetben teljesül:
I. ha b=0, ekkor (5)-ből c=0 és (1) minden a-ra fennáll;
II. ha b=-1, (5)-ből c=-a és (7)-ből a=0 vagy a=-1. Az előbbi esetben nem kapunk azonosságot. a=b=-1, c=1 viszont megoldása a feladatnak;
III. ha b=a, (5)-ből c=a2 (7)-ből a2(a2-1)=0, a=0, a=1 vagy a=-1.
Az első esetben a=b=c=0, az I. speciális esete. a=b=c=1 ismét nem ad megoldást, a=b=-1, c=1 pedig a II. alatt talált megoldás.