Feladat: 1240. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Sashegyi László ,  Szendrei Mária 
Füzet: 1969/október, 61 - 62. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számelrendezések, Permutációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/február: 1240. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első három természetes számot hatféle sorrendben írhatjuk fel:

1,2,3(2);2,1,3(3);3,1,2(3);1,3,2(3);2,3,1(3);3,2,1(2).
A szomszédos számok különbségei abszolút értékeinek összegét az egyes sorrendek mellett zárójelben feltüntettük. Ha tehát a keresett összeget általában Sn-nel jelöljük, akkor S3=3.
Az 1,2,3,4 számokból képezhető különbségeket az alábbi séma tartalmazza:
 
 

Az egy sorrendből származó három különbség összege tehát legfeljebb 3+ +2+2=7, ami el is érhető: ez az összeg tartozik a 3,1,4,2 sorrendhez, és ennek fordítottjához. Tehát S4=7
Hasonlóan kapjuk, hogy az 1,2,3,4,5 számok közötti legnagyobb különbség az 5-1=4, az ezt követő 3-as érték két számpár között lép fel: 5-2= =4-1=3. Az egy sorrendhez tartozó összeg tehát legfeljebb 4+3+3+2=12. Ez azonban nem érhető el, hiszen az első három különbség csak akkor lép fel, ha az (5, 1), (4, 1), (5, 2) párok egymás mellé kerülnek, vagyis a sorrend egy része 4,1,5,2 vagy 2,5,1,4, ‐ a hátra levő 3-as számot azonban bármelyik végén illesztjük ehhez a blokkhoz, a negyedik különbség 1 lesz. Az 1-gyel kisebb, 11-es összeg viszont elérhető, épp a most látott módon, például a 3,4,1,5,2 sorrendből, ezek szerint S5=11.
n=6 esetében a fenti módon az öt különbség összegére az 5+4+4+3+3=19 felső korlátot kapjuk, itt azonban még az 1-gyel kisebb, 18-as összeg sem érhető el. Ha ugyanis az 5-ös különbség nem lép fel, az összeg már csak 4+4+3+ +3+3=17 lehetne. Ha az 5-ös különbség fellép, az 1,6, számoknak egymás mellé kell kerülniük. Ha még mind a két 4-es különbség is fellép, az 5,1,6,2 blokknak (vagy fordítottjának) elő kell fordulnia a sorrendben, de ekkor a hátra levő két különbség legfeljebb 2 lehet. Ha csak az egyik 4-es különbség lép fel, a 17-es összeghez a többi különbség mindegyikének 3-mal kellene egyenlőnek lennie; tehát a 4,1,6,3 blokk volna része a sorrendnek, ami már kizárja a 4-es különbséget. Ha pedig nem lép fel 4-es különbség, az összeg nem lehet 18. A 17-es összeg viszont már előfordul például a 3,5,1,6,2,4 és 3,6,2,5,1,4 sorrendeknél, tehát S6=17.
 

Szendrei Mária (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o. t.)

Sashegyi László (Tatabánya, Árpád Gimn., II. o. t. )