Kezdőlap


Feladat:	1237. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Fazekas Tibor , Szepesi László
Füzet:	1969/november, 142 - 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/január: 1237. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $E F G$ háromszög hasonló az $A B C$ háromszöghöz, oldalai kétszer akkorák és párhuzamosak az $A B C$ háromszög megfelelő oldalaival.

Messe a

G C

egyenes

A B

-t a

H

pontban, ekkor

A C

, ill.

B C

E G H

, ill.

F G H

háromszög

E G

-vel, ill.

F G

-vel párhuzamos középvonala, mert párhuzamos vele és feleakkora. Így

\begin{matrix} G C = C H, A H = E A = E D - A D = A B - A D = D B \end{matrix}

és hasonlóan

B H = D A

. A

C D H

derékszögű háromszögből Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} G C^{2} = C H^{2} = C D^{2} + D H^{2} = C D^{2} + {(A H - A D)}^{2} = C D^{2} + {(D B - A D)}^{2} . \end{matrix}

A B

B C

C A

oldalakat

c

a

b

-vel jelölve az

A B C

háromszög kétszeres területét felírjuk kétféleképpen:

\begin{matrix} c \cdot C D = a b, innen C D = a b / c; \end{matrix}

A D

meghatározására vegyük észre, hogy a

B C

átmérővel rajzolt kör átmegy

D

-n és érinti

A C

-t. Így az

A

-ból húzott

A C

érintőre és

A B

szelőre fennáll

\begin{matrix} b^{2} = A C^{2} = A D \cdot A B = A D \cdot c, \\ azaz A D = b^{2} / c; \end{matrix}

és hasonlóan

\begin{matrix} D B = a^{2} / c . \end{matrix}

Ezeket felhasználva

\begin{matrix} G C^{2} = \frac{a^{2} b^{2}}{c^{2}} + {(\frac{a^{2}}{c} - \frac{b^{2}}{c})}^{2} = \frac{a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4}}{c^{2}} \end{matrix}

egy kívánt előállítás. Itt még valamelyik oldal könnyen kiküszöbölhető a másik kettő felhasználásával Pitagorasz tétele alapján.

Fazekas Tibor (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., II. o. t.)

Szepesi László (Sopron, Széchenyi I. Gimn., II. o. t.)